Question

（2005•蘭州）如圖，已知正三角形的邊長(zhǎng)2a
（1）求它的內(nèi)切圓與外接圓組成的圓環(huán)的面積；
（2）根據(jù)計(jì)算結(jié)果，要求圓環(huán)的面積，只需測(cè)量哪一條弦的大小就可算出圓環(huán)的面積？
（3）將條件中的“正三角形”改為“正方形”、“正六邊形”你能得出怎樣的結(jié)論；
（4）已知正n邊形的邊長(zhǎng)為2a，請(qǐng)寫出它的內(nèi)切圓與外接圓組成的圓環(huán)的面積．

Answer 1

【答案】分析：正多邊形的邊心距，半徑，邊長(zhǎng)的一半正好構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理就可以求解．
解答：解：（1）設(shè)正三角形ABC的中心為O，BC切⊙O于點(diǎn)D連接OB、OD，則OD⊥BC，BD=DC=a；
則S圓環(huán)=π•OB²-π•OD²=π?OB²-OD²?=BD²•π=πa²．
（2）只需測(cè)出弦BC的長(zhǎng)（或AC，AB）．
（3）結(jié)果一樣，即S圓環(huán)=πa²．
（4）S圓環(huán)=πa²．
點(diǎn)評(píng)：正多邊形的計(jì)算，一般是過(guò)中心作邊的垂線，連接半徑，把內(nèi)切圓半徑，外接圓半徑和高，中心角之間的計(jì)轉(zhuǎn)化為解直角三角形．本題是巧用了勾股定理．