Question

閱讀理解：如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90⁰，點(diǎn)P在BC邊上，當(dāng)
∠APD=90⁰時(shí)，易證∽，從而得到，解答下列問(wèn)題.
（1）模型探究1：如圖2，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在BC邊上，當(dāng)∠B=∠C=∠APD時(shí)， 結(jié)論仍成立嗎? 試說(shuō)明理由;
(2)拓展應(yīng)用：如圖3，M為AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，∠DME＝∠A＝∠B＝45°且DM交AC于F，ME交BC于G．AB＝，AF＝3，求FG的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）∠APC=∠ABP+∠BAP可得：∠BAP=∠CPD 從而說(shuō)明 △ABP∽△PCD
可得： 
（2）∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B
∴△AMF∽△BGM．
當(dāng)∠A＝∠B＝45°時(shí)，可得AC⊥BC且AC＝BC
∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，∴AM＝BM＝,  
又∵AMF∽△BGM，∴
∴ 
又∵，
∴ 

（1）本題要通過(guò)證△ABP和△PCD相似來(lái)解．已知∠B=∠APD=∠C，那么可得出它們的補(bǔ)角都相等，進(jìn)而可求出∠BAP=∠DPC，∠BPA=∠PDC．由此可證得兩三角形相似，即可得出所求的結(jié)論．
（2）由∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B可得△AMF∽△BGM，再利用直角三角形ABC可得到AM、BM、AC、BC的長(zhǎng)，在△AMF∽△BGM中利用對(duì)應(yīng)邊成比例可得BG的長(zhǎng)，在直角三角形CFG中利用勾股定理即可求得FG的長(zhǎng)。