Question

已知如圖，D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，DE∥BC，交邊AC于點(diǎn)E，延長DE至點(diǎn)F，使EF=DE，聯(lián)結(jié)BF，交邊AC于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)CF
（1）求證：

AE

AC

=

EG

CG

；
（2）如果CF²=FG•FB，求證：CG•CE=BC•DE．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）首先證明△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，以及DE=EF即可證得；
（2）首先證明△CFG∽△BFC，證得

CG

BC

=

FG

FC

，∠FCE=∠CBF，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠FEG=∠CEF，即可證得△EFG∽△ECF，則

EF

EC

=

FG

FC

=

DE

EC

，即可證得

CG

FG

=

DE

EC

，則所證結(jié)論即可得到．

解答：證明：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，
∴

AE

AC

=

DE

BC

，

EF

BC

=

EG

CG

，
又∵DE=EF，
∴

DE

BC

=

EF

BC

，
∴

AE

AC

=

EG

CG

；

（2）∵CF²=FG•FB，
∴

CF

FG

=

FB

CF

，
又∵∠CFG=∠CFB，
∴△CFG∽△BFC，
∴

CG

BC

=

FG

FC

，∠FCE=∠CBF，
又∵DF∥BC，
∴∠EFG=∠CBF，
∴∠FCE=∠EFG，
又∵∠FEG=∠CEF，
∴△EFG∽△ECF，
∴

EF

EC

=

FG

FC

=

DE

EC

，
∴

CG

FG

=

DE

EC

，即CG•CE=BC•DE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確理解相似三角形的判定方法，證明∠FEG=∠CEF，證得△EFG∽△ECF是解決本題的關(guān)鍵．