Question

【題目】【探究證明】

(1)某班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組對(duì)矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究，提出下列問(wèn)題，請(qǐng)你給出證明．

如圖①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F，GH分別交AD，BC于點(diǎn)G，H.求證： ；

【結(jié)論應(yīng)用】

(2)如圖②，在滿足(1)的條件下，又AM⊥BN，點(diǎn)M，N分別在邊BC，CD上，若，則的值為 ；

【聯(lián)系拓展】

(3)如圖③，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，點(diǎn)M，N分別在邊BC，AB上，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.

【解析】試題分析: （1）過(guò)點(diǎn)A作AP∥EF,交CD于P,過(guò)點(diǎn)B作BQ∥GH,交AD于Q,如圖1,易證AP=EF,GH=BQ,△PDA∽△QAB,然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可解決問(wèn)題,

（2）只需運(yùn)用（1）中的結(jié)論,就可得到,就可解決問(wèn)題,

（3）過(guò)點(diǎn)D作平行于AB的直線,交過(guò)點(diǎn)A平行于BC的直線于R,交BC的延長(zhǎng)線于S,如圖3,易證四邊形ABSR是矩形,由（1）中的結(jié)論可得=．設(shè)SC=x,DS=y,則AR=BS=5+x,RD=10﹣y,在Rt△CSD中根據(jù)勾股定理可得①,在Rt△ARD中根據(jù)勾股定理可得+=100②,解①②就可求出x,即可得到AR,問(wèn)題得以解決.

試題解析: （1）過(guò)點(diǎn)A作AP∥EF,交CD于P,過(guò)點(diǎn)B作BQ∥GH,交AD于Q,如圖1,

∵四邊形ABCD是矩形,

∴AB∥DC,AD∥BC,

∴四邊形AEFP,四邊形BHGQ都是平行四邊形,

∴AP=EF,GH=BQ,

又∵GH⊥EF,

∴AP⊥BQ,

∴∠QAT+∠AQT=90°,

∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠DAB=∠D=90°,

∴∠DAP+∠DPA=90°,

∴∠AQT=∠DPA,

∴△PDA∽△QAB,

∴,

∴,

（2）如圖2,

∵EF⊥GH,AM⊥BN,

∴由（1）中的結(jié)論可得,,

∴

故答案為: ,

（2）過(guò)點(diǎn)D作平行于AB的直線,交過(guò)點(diǎn)A平行于BC的直線于R,交BC的延長(zhǎng)線于S,如圖3,則四邊形ABSR是平行四邊形,

∵∠ABC=90°,

∴ABSR是矩形,

∴∠R=∠S=90°,RS=AB=10,AR=BS,

∵AM⊥DN,

∴由（1）中的結(jié)論可得,

設(shè)SC=x,DS=y,則AR=BS=5+x,RD=10﹣y,

∴在Rt△CSD中,x2+y2=25①,

在Rt△ARD中,（5+x）2+（10﹣y）2=100②,

由②﹣①得x=2y﹣5③,

解方程組得

（舍去）,或,

∴AR=5+x=8,

∴.