已知: 關(guān)于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根為正實(shí)數(shù),二次函數(shù)y=ax2bx+kcc≠0)的圖象與x軸一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.

1.(1)若方程①的根為正整數(shù),求整數(shù)k的值;

2.(2)求代數(shù)式的值;

3.(3)求證: 關(guān)于x的一元二次方程ax2bx+c=0 ②必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

 

 

【答案】

 

1.解:(1)解:由 kx=x+2,得(k-1) x=2.

依題意 k-1≠0.∴ .      ……………………………………1分

∵ 方程的根為正整數(shù),k為整數(shù), ∴ k-1=1或k-1=2.

k1= 2, k2=3.         …………………………………………………2分

 

2.(2)解:依題意,二次函數(shù)y=ax2-bx+kc的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0),

       ∴ 0 =a-b+kc,  kc = b-a

 = …3分

3.(3)證明:方程②的判別式為 Δ=(-b2-4ac= b2-4ac.   由a≠0, c≠0, 得ac≠0.

證法一:

i )若ac<0, 則-4ac>0. 故Δ=b2-4ac>0. 此時(shí)方程②有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.……4分

ii )若ac>0, 由(2)知a-b+kc =0, 故 b=a+kc

Δ=b2-4ac= (a+kc2-4ac=a2+2kac+(kc2-4ac = a2-2kac+(kc2+4kac-4ac

=(a-kc2+4ack-1).     …………………………………………………5分

∵ 方程kx=x+2的根為正實(shí)數(shù), ∴ 方程(k-1) x=2的根為正實(shí)數(shù).

x>0, 2>0, 得 k-1>0.               …………………………………6分

∴ 4ack-1)>0.   ∵ (a-kc2³0,

∴Δ=(a-kc2+4ack-1)>0. 此時(shí)方程②有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.  …………7分

證法二:

i )若ac<0, 則-4ac>0. 故Δ=b2-4ac>0. 此時(shí)方程②有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. ……4分

ii )若ac>0,∵ 拋物線y=ax2-bx+kcx軸有交點(diǎn),

∴ Δ1=(-b2-4akc =b2-4akc³0. 

b2-4ac)-( b2-4akc)=4ack-1).     由證法一知 k-1>0,

b2-4ac> b2-4akc³0.

∴ Δ= b2-4ac>0. 此時(shí)方程②有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.   …………………7分

綜上, 方程②有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

證法三:由已知,,∴

        可以證明不能同時(shí)為0(否則),而,因此

 

【解析】略

 

練習(xí)冊系列答案
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已知:關(guān)于x的一元二次方程kx2+(2k-3)x+k-3=0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根(k<0).
(1)用含k的式子表示方程的兩實(shí)數(shù)根;
(2)設(shè)方程的兩實(shí)數(shù)根分別是x1,x2(其中x1>x2),若一次函數(shù)y=(3k-1)x+b與反比例函數(shù)y=
bx
的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(x1,kx2),求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式.

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已知,關(guān)于x的一元二次方程x2-2x-m=0有實(shí)數(shù)根.
(1)求m的取值范圍;
(2)若a,b是此方程的兩個(gè)根,且滿足(a2-2a+2)(2b2-4b-1)=3,求m的值.

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已知:關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+c=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根為3.
(1)求c的值;
(2)二次函數(shù)y=x2-2x+c,當(dāng)-2<x≤2時(shí),y的取值范圍;
(3)二次函數(shù)y=x2-2x+c與x軸交于點(diǎn)A、B(A左B右),頂點(diǎn)為點(diǎn)C,問:是否存在這樣的點(diǎn)P,以P為位似中心,將△ABC放大為原來的2倍后得到△DEF(即△EDF∽△ABC,相似比為2),使得點(diǎn)D、E恰好在二次函數(shù)上且DE∥AB?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+
m-42
=0

(1)求證:不論m為何值時(shí),方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1和x2,滿足x12+4x1x2 =16mx2+25,且x1<-x2,求m的值.

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已知:關(guān)于x的一元二次方程mx2-3(m-1)x+2m-3=0(m為實(shí)數(shù))
(1)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求m的取值范圍;
(2)求證:無論m為何值,方程總有一個(gè)固定的根;
(3)若m為整數(shù),且方程的兩個(gè)根均為正整數(shù),求m的值及方程所有的根.

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