Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程mx²-3（m-1）x+2m-3=0（m為實(shí)數(shù)）
（1）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；
（2）求證：無論m為何值，方程總有一個(gè)固定的根；
（3）若m為整數(shù)，且方程的兩個(gè)根均為正整數(shù)，求m的值及方程所有的根．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根得出關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍即可；
（2）由公式法得出方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根即可作出判斷；
（3）根據(jù)m為整數(shù)，且方程的兩個(gè)根均為正整數(shù)，可知（2）中所求兩根均為整數(shù)，得出符合條件的m的值即可．

解答：解：（1）∵△=b²-4ac=[-3（m-1）]²-4m（2m-3）=（m-3）²，
∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴（m-3）²＞0且 m≠0，
∴m≠3且 m≠0，
∴m的取值范圍是m≠3且 m≠0；

（2）證明：由求根公式x=

-b± b2-4ac

2a

=

3(m-1)±(m-3)

2m

，
∴x1=

3m-3+m-3

2m

=

2m-3

m

=2-

3

m

，x2=

3m-3-m+3

2m

=1
∴無論m為何值，方程總有一個(gè)固定的根是1；

（3）∵m為整數(shù)，且方程的兩個(gè)根均為正整數(shù)，
∴x1=2-

3

m

必為整數(shù)，
∴m=±1或m=±3，
當(dāng)m=1時(shí)，x₁=-1（舍去）；當(dāng)m=-1時(shí)，x₁=5；當(dāng)m=3時(shí)，x₁=1；當(dāng)m=-3時(shí)，x₁=3．
∴m=-1或m=±3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是根與系數(shù)的關(guān)系、用公式法解一元二次方程，熟知以上知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．