Question

（2013•荊門模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程x²-4x+2（k-1）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）如果方程的兩個(gè)根均為整數(shù)，求正整數(shù)k的值；
（3）在（2）的條件下，若直線y=-kx+b與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、D，與雙曲線y=

n

x

（n＞0）交于點(diǎn)B、C（B在C的左邊），且AB•AC=4，求n的值．

Answer 1

分析：（1）由關(guān)于x的一元二次方程x²-4x+2（k-1）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可得△=b²-4ac=（-4）²-4×1×2（k-1）=-8k+24＞0，繼而求得k的取值范圍；
（2）由方程的兩個(gè)根均為整數(shù)，求正整數(shù)k的值，根據(jù)（1），分別討論k=2與k=1的情況，即可求得答案；
（3）首先過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，易得△ACF與△ABE是等腰直角三角形，則可得AC=

2

AF，AB=

2

AE，求得AF•AE=2，然后由線y=-x+b與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、D，與雙曲線y=

n

x

（n＞0）交于點(diǎn)B、C，可得設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），即可得x₁與x₂是-x+b=

n

x

的解，繼而求得x₁+x₂=b，x₁•x₂=n，又由AE=b-x₁，AF=b-x₂，則可得（b-x₁）（b-x₂）=2，繼而求得答案．

解答：解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x²-4x+2（k-1）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=b²-4ac=（-4）²-4×1×2（k-1）=-8k+24＞0，
解得：k＜3，
∴k的取值范圍為k＜3；

（2）∵k＜3且k為正整數(shù)，
∴k=1或2．
當(dāng)k=1時(shí)，y=x²-4x，與x軸交于點(diǎn)（0，0）、（4，0），符合題意；
當(dāng)k=2時(shí)，y=x²-4x+2，與x軸的交點(diǎn)不是整數(shù)點(diǎn)，故舍去．
綜上所述，k=1．

（3）當(dāng)b＞0，如圖，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，
由（2）得：k=1，
∴直線的解析式為：y=-x+b，
∵直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、D，
∴點(diǎn)A（b，0），點(diǎn)D（0，b），
∴∠OAD=∠ODA=45°，
∴△ACF與△ABE是等腰直角三角形，
∴AC=

2

AF，AB=

2

AE，
∵AB•AC=4，
∴

2

AF•

2

AE=4，
即AF•AE=2，
∵直線y=-x+b與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、D，與雙曲線y=

n

x

（n＞0）交于點(diǎn)B、C，
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∴x₁與x₂是-x+b=

n

x

的解，
即x²-bx+n=0，
∴x₁+x₂=b，x₁•x₂=n，
∵AE=b-x₁，AF=b-x₂，
∴（b-x₁）（b-x₂）=2，
即b²-b（x₁+x₂）+x₁•x₂=n=2；
當(dāng)b＜0時(shí)，同理可得：n=2．
綜上可得：n=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、一元二次方程的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系．此題難度較大，綜合性很強(qiáng)，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．