Question

（2006•孝感）如圖，已知二次函數y=x²+bx+c的圖象與x軸只有一個公共點M，與y軸的交點為A，過點A的直線y=x+c與x軸交于點N，與這個二次函數的圖象交于點B．
（1）求點A、B的坐標（用含b、c的式子表示）；
（2）當S_△BMN=4S_△AMN時，求二次函數的解析式；
（3）在（2）的條件下，設點P為x軸上的一個動點，那么是否存在這樣的點P，使得以P、A、M為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請寫出符合條件的所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接直線AB與拋物線的解析式即可得出A、B的坐標．
（2）根據等高三角形的面積比等于底邊比，可知：B點的縱坐標是A點縱坐標的4倍．已知拋物線與x軸只有一個交點，即△=0，可得出另外一個關于b，c的關系式，聯(lián)立兩個關系式即可求得b，c的值．也就能求出二次函數的解析式．
（3）本題要分情況進行討論：
①PM=AM，那么將M點的坐標向左或向右平移AM個單位即可得出P點的坐標．
②PA=AM，P點在AM的垂直平分線上，易知：M（2，0），A（0，2）因此三角形OMA是等腰直角三角形，O在AM的垂直平分線上，因此P，O重合，P點坐標即為原點坐標．
③PA=AM，P，M關于y軸對稱，據此可求出P點的坐標．
綜上所述可得出符合條件的P點的坐標．
解答：解：（1）
x₁=0，x₂=2-2b
當x₁=0時，y₁=c即A（0，c）
當x₂=2-2b時，y₂=2-2b+c
即B（2-2b，2-2b+c）；

（2）2-2b-3c=0，△=0
得b²-2c=0，
聯(lián)立③，④得
（6+2）（36-2）=0
∴b₁=-2，b₂=
＞0，而a=＞0．
∴b＜0．
∴b=-2
當b=-2時，代入④得c=2
∴所求二次函數的解析式為：y=x²-2x+2；

（3）存在符合條件的點P
P_l（2+2，0），P₂（0，0），P₃（2-2，0），P₄（-2，0）．
點評：本題考查了二次函數解析式的確定、函數圖象的交點、等腰三角形的判定等知識點．
在不確定等腰三角形的腰和底的情況下要分類討論，不要漏解．