Question

已知拋物線C：y=x²+2x-3．

拋物線	頂點(diǎn)坐標(biāo)	與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)		與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)
拋物線C：y=x2+2x-3	A（   ）	B（   ）	（1，0）	（0，-3）
變換后的拋物線C1

（1）補(bǔ)全表中A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出拋物線C；
（2）將拋物線C上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="y6lqpor" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

2

，可證明得到的曲線仍是拋物線，（記為C₁），且拋物線C₁的頂點(diǎn)是拋物線C的頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，求拋物線C₁對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：

分析：（1）利用配方法得到y(tǒng)=（x+1）²-4，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到A點(diǎn)坐標(biāo)，再令y=0得x²+2x-3=0，然后解方程即可得到B點(diǎn)坐標(biāo)；再利用描點(diǎn)法畫拋物線；
（2）利用拋物線C上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="thsb2k9" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

2

，得到點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A₁（-2，-2），點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B₁（-6，0），由于拋物線C₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A₁（-2，-2），然后設(shè)頂點(diǎn)式求出拋物線C₁的解析式．

解答：解：（1）y=x²+2x-3=（x+1）²-4，則頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，-4），
當(dāng)y=0時(shí)，x²+2x-3=0，解得x₁=-3，x₂=1，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），（1，0），
如圖；
（2）點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A₁（-2，-2），點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B₁（-6，0），
由于拋物線C₁的頂點(diǎn)是拋物線C的頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，
所以拋物線C₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A₁（-2，-2），
設(shè)拋物線C₁的解析式為y=a（x+2）²-2，
把點(diǎn)B₁（-6，0）代入得a•（-6+2）²-2=0，解得a=

1

8

，
所以拋物線C₁的解析式為y=

1

8

（x+2）²-2=

1

8

x²+

1

2

x-

3

2

．
故答案為（-1，-4），（-3，0）；A₁（-2，-2），B₁（-6，0），（2，0），（0，-

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：對(duì)于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：當(dāng)△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．