Question

如圖：設(shè)P是邊長(zhǎng)為12的正△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)P分別作三條邊BC、CA、AB的垂線，垂足分別為D、E、F．已知PD：PE：PF=1：2：3．那么，四邊形BDPF的面積是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：面積及等積變換

專(zhuān)題：

分析：首先連接AP，BP，CP，由S_△ABP+S_△APC+S_△BPC=

1

2

（PD×12+PE×12+PF×12）=S_△ABC與PD：PE：PF=1：2：3，即可求得PD與PF的長(zhǎng)，然后再作FG⊥BC于G，PH∥BC，交FG于H，易求得∠FPH=30°，則可求得FH，F(xiàn)G，GD的長(zhǎng)，則可求得四邊形BDPF的面積．

解答：解：連接AP，BP，CP，作FG⊥BC于G，PH∥BC，交FG于H，
∵PD，PE，PF分別垂直于BC，AC，AB，
∴S_△ABP+S_△APC+S_△BPC=

1

2

（PD×12+PE×12+PF×12）=S_△ABC=36

3

，
又∵PD：PE：PF=1：2：3，
∴PD=

3

，PF=3

3

，
∵∠FPH=30°，
∴FH=

3 3

2

，F(xiàn)G=

5 3

2

，GD=HP=

9

2

，
又∵BG=

5

2

，
∴S_{四邊形BDPF}=S_△BFG+S_梯形FGDP=

1

2

FG•BG+

1

2

（FG+PD）•GD=11

3

．
故答案為：11

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及三角形面積問(wèn)題等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，解題是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．