Question

如果拋物線y=-x²+2（m-1）x+m+1與x軸都交于A，B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)在x軸的正半軸上，B點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，OA的長(zhǎng)是a，OB的長(zhǎng)是b．
（1）求m的取值范圍；
（2）若a：b=3：1，求m的值，并寫(xiě)出此時(shí)拋物線的解析式；
（3）設(shè)（2）中的拋物線與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)是M，問(wèn)：拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAB的面積等于△BCM面積的8倍？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩根之積小于0及根的判別式大于0得到m的取值．
（2）利用比值設(shè)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解m，進(jìn)而求得拋物線解析式．
（3）應(yīng)先求得△BCM面積，進(jìn)而求得△BCM面積的8倍．易求得AB的長(zhǎng)，設(shè)P的縱坐標(biāo)為y，那么△PAB的面積=

1

2

×AB×|P_Y|縱坐標(biāo)的絕對(duì)值．

解答：解：（1）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（x₁，0）、（x₂，0），
∵A，B兩點(diǎn)在原點(diǎn)的兩側(cè)，
∴x₁x₂＜0，即-（m+1）＜0，
解得m＞-1．
∵△=[2（m-1）]²-4×（-1）×（m+1）
=4m²-4m+8
=4×（m-

1

2

）²+7
當(dāng)m＞-1時(shí)，△＞0，
∴m的取值范圍是m＞-1；

（2）∵a：b=3：1，設(shè)a=3k，b=k（k＞0），
則x₁=3k，x₂=-k，
∴

3k-k=2(m-1) 3k•(-k)=-(m+1)

，
解得m1=2，m2=

1

3

．
∵m=

1

3

時(shí)，x1+x2=-

4

3

（不合題意，舍去），
∴m=2，
∴拋物線的解析式是y=-x²+2x+3；

（3）易求拋物線y=-x²+2x+3與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是A（3，0），B（-1，0）
與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是C（0，3），頂點(diǎn)坐標(biāo)是M（1，4）．
設(shè)直線BM的解析式為y=px+q，
則

4=p•1+q 0=p•(-1)+q

．
解得

p=2 q=2

．
∴直線BM的解析式是y=2x+2．

設(shè)直線BM與y軸交于N，則N點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2），

∴S_△BCM=S_△BCN+S_△MNC
=

1

2

×1×1+

1

2

×1×1
=1
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是（x，y），
∵S_△ABP=8S_△BCM，
∴

1

2

×AB×|y|=8×1．
即

1

2

×4×|y|=8．
∴|y|=4．
∴y=±4．
當(dāng)y=4時(shí)，P點(diǎn)與M點(diǎn)重合，即P（1，4），
當(dāng)y=-4時(shí)，-4=-x²+2x+3，
解得x=1±2

2

．
∴滿足條件的P點(diǎn)存在．
P點(diǎn)坐標(biāo)是（1，4），（1+2

2

，-4）（1-2

2

，-4）．

點(diǎn)評(píng)：拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，根的判別式大于0；注意利用根與系數(shù)的兩個(gè)關(guān)系求解；到一條線段為定值的點(diǎn)的縱坐標(biāo)有2個(gè)．