Question

如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（-4，0），B（1，0），C（-2，6）.

（1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)的拋物線解析式．
（2）設(shè)直線BC交y軸于點(diǎn)E，連結(jié)AE，求證：AE=CE；
（3）設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)D，連結(jié)AD交BC于點(diǎn)F，求證：以A，B，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，并求：．

Answer 1

（1）；（2）證明見(jiàn)試題解析；（3）證明見(jiàn)試題解析，．

試題分析：（1）利用待定系數(shù)發(fā)求解即可得出拋物線的解析式；
（2）求出直線BC的函數(shù)解析式，從而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后分別求出AE及CE的長(zhǎng)度即可證明出結(jié)論；
（3）求出AD的函數(shù)解析式，然后結(jié)合直線BC的解析式可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，由題意得∠ABF=∠CBA，然后判斷出是否等于即可作出判斷．
試題解析：（1）設(shè)函數(shù)解析式為：，由函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6），
可得，解得：，故經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式為：；
（2）設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b，由題意得：，解得：，即直線BC的解析式為．故可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，2），從而可得：AE=，CE=，故可得出AE=CE；
（3）相似．理由如下：設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，則，解得：，即直線AD的解析式為．聯(lián)立直線AD與直線BC的函數(shù)解析式可得：，解得：，即點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，），則BF=，又∵AB=5，BC=，∴，，∴，又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA．故以A、B、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，=．