Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（4，0）為圓心，AO為半徑的圓交x軸于點(diǎn)B．設(shè)M為x軸上方的圓長交y軸于點(diǎn)D．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在弧OM上運(yùn)動時(shí)，設(shè)PC=x，

OC

OD

=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到某一位置時(shí)，恰使OB=3OD，求此時(shí)AC所在直線的解析式．

Answer 1

分析：（1）延長PA交⊙A于E，連接OE，根據(jù)圓的相關(guān)性質(zhì)，構(gòu)造相似比，可求一次函數(shù)關(guān)系式；
（2）已知A點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用勾股定理求OC的長，從而可求C點(diǎn)坐標(biāo)，利用“兩點(diǎn)法”求一次函數(shù)解析式．

解答：解：（1）延長PA交⊙A于E，連接OE，
∵AO=AE，
∴∠BOE=∠E．
又∵∠PBO=∠E，
∴∠BOE=∠PBO，
∴DB∥OE，
∴

OC

OD

=

CE

PE

又∵

OC

OD

=y，PC=x，PE=2OA=8，CE=CP+PE=x+8
∴y=

x+8

8

，即y=

1

8

x+1（2分）
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)M時(shí)，連接AM并延長交y軸于點(diǎn)F，設(shè)∠OAM=n°，
∴n=60，即∠OAM=60°．
∵OC⊥OB，∴AF=2OA=8，∴MF=4，∴x≤4，
即0＜x≤4．

（2）當(dāng)P運(yùn)動到恰使OB=3OD時(shí)，即OD=

1

3

OB=

8

3

∵

OC

OD

=y
∴OC=OD•y=

x+8

3

在Rt△AOC中，OA²+OC²=AC²，
∵(

x+8

3

)2+42=(x+4)2（1分）
整理的x²+7x-8=0
∴x₁=1，x₂=-8（舍去）
∴OC=3
∴C（0，3）（2分）
設(shè)過A、C兩點(diǎn)的直線解析式為y=kx+b，
∴

b=3 0=4k+b

∴

k=- 3 4 b=3

∴直線AC的解析式為y=-

3

4

x+3（2分）

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的方法．