Question

【題目】如圖，△ABC角平分線AE、CF交于點P，BD是△ABC的高，點H在AC上，AF＝AH，下列結(jié)論：①∠APC＝90°+ABC；②PH平分∠APC；③若BC＞AB，連接BP，則∠DBP＝∠BAC﹣∠BCA；④若PH∥BD，則△ABC為等腰三角形，其中正確的結(jié)論有_____（填序號）．

Answer 1

【答案】①④．

【解析】

①利用三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義即可判斷．

②利用反證法進(jìn)行判斷．

③根據(jù)∠DBP＝∠DBC﹣∠PBC＝90°﹣∠ACB﹣（180°﹣∠BAC﹣∠ACB）＝（∠BAC﹣∠ACB），由此即可判斷．

④利用全等三角形的性質(zhì)證明CA＝CB即可判斷．

解：∵△ABC角平分線AE、CF交于點P，

∴∠CAP＝∠BAC，∠ACP＝∠ACB，

∴∠APC＝180°﹣（∠CAP+∠ACP）＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC）＝90°+∠ABC，故①正確，

∵PA＝PA，∠PAF＝∠PAH，AF＝AH，

∴△PAF≌△PAH（SAS），

∴∠APF＝∠APH，

若PH是∠APC的平分線，則∠APF＝60°，顯然不可能，故②錯誤，

∵∠DBP＝∠DBC﹣∠PBC＝90°﹣∠ACB﹣（180°﹣∠BAC﹣∠ACB）＝（∠BAC﹣∠ACB），故③錯誤，

∵BD⊥AC，PH∥BD，

∴PH⊥AC，

∴∠PHA＝∠PFA＝90°，

∵∠ACF＝∠BCF，CF＝CF，∠CFA＝∠CFB＝90°，

∴△CFA≌△CFB（ASA），

∴CA＝CB，故④正確，

故答案為①④．