Question

如圖I是△ABC的內(nèi)心，AI的延長(zhǎng)線交邊BC于點(diǎn)D，交△ABC的外接圓于點(diǎn)E(1)BE與IE相等嗎？為什么？(2)試說(shuō)明IE是AE和DE的比例中項(xiàng)

Answer 1

(1)BE=IE，理由見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析

①BE=IE  （1分）
連接BI
∵I為△ABC內(nèi)心
∴∠1=∠2
∠3=∠5
∵∠3=∠4  ∴∠4=∠5
∵∠BIE=∠2+∠5
∠EBI=∠1+∠4
∴∠BIE=∠EBI
∴BE=IE   （6分）
②∵∠BED=∠AEB
∠4=∠5
∴△BED∽△AEB
∴ 即 BE²=AE·ED
由①知BE=IE
∴IE²=AE·ED
∴IE是AE和DE的比例中項(xiàng) （10分）
（1）利用內(nèi)心的性質(zhì)得出∠1=∠2，∠3=∠5，再利用外角性質(zhì)得出∠BIE=∠EBI，進(jìn)而求出即可；
（2）利用相似三角形的性質(zhì)與判定得出△BED∽△AEB，進(jìn)而求出BE2=AE•ED，即可得出答案．