Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)G在⊙O上，

CG

=

CB

，過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為D，連接BC、AC、BG，BG與AC交于點(diǎn)E．
（1）求證：BG=2CD；
（2）若⊙O直徑為5

5

，BC=5，求AE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系,圓周角定理

專題：

分析：（1）延長CD交⊙O于點(diǎn)F，連接OC，OF，OG，則由圓周角定理易得CF=2CD，若證明BG=2CD．則可轉(zhuǎn)化為證明BG=CF即可；
（2）利用圓周角定理和勾股定理可求出AC的長，再證明△BCE∽△ACB，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出AE的長．

解答：解：（1）延長CD交⊙O于點(diǎn)F，
∵CD⊥AB，
∴

BF

=

BC

，CF=2CD，
連接OC，OF，OG，
∵

CG

=

BF

=

BC

，
∴∠GOC=∠COB=∠FOB，
∴∠GOB=∠COF，
∴BG=CF，
∵CF=2CD，
∴BG=2CD；
（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AB=5

5

，BC=5，
∴AC=

AB2-BC2

=10，
∵

CG

=

BC

，
∴∠CBG=∠BAC，
∵∠BCE=∠ACB，
∴△BCE∽△ACB，
∴

CE

BC

=

BC

AC

，
∴

CE

5

=

5

10

，
∴CE=2.5，
∴AE=10-2.5=7.5．

點(diǎn)評：本題考查了圓周角定理、圓心角定理、勾股定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)，題目的難度不大，用到的知識(shí)點(diǎn)很多，對學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力要求很高．