Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，且EF∥BC，

AE

BE

=

BC

AD

=

5

3

，若

AB

=

a

，

DC

=

b

，則向量

EF

可用

a

、

b

表示為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：*平面向量

專題：

分析：過(guò)點(diǎn)A作AH∥CD交EF于G，交BC于H，可得AD=GF=CH，然后用BH表示出CH，再求出

AE

AB

，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得

AE

AB

=

EG

BH

，再用BH表示出EG，然后表示出EF，再根據(jù)向量的三角形法則求出BH，即可得解．

解答：解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH∥CD交EF于G，交BC于H，
∵AD∥BC，EF∥BC，
∴AD=GF=CH，
∵

BC

AD

=

5

3

，
∴BC=

5

3

AD，
∴BH=BC-CH=

5

3

AD-AD=

2

3

AD=

2

3

CH，
∴CH=

3

2

BH，
∵

AE

BE

=

5

3

，
∴

AE

AB

=

5

8

，
∵EF∥BC，
∴△AEG∽△ABH，
∴

AE

AB

=

EG

BH

=

5

8

，
∴EG=

5

8

BH，
∴EF=EG+GF=

5

8

BH+

3

2

BH=

17

8

BH，
∵

AB

=

a

，

DC

=

b

，
∴

BH

=

DC

-

AB

=

b

-

a

，
∴

EF

=

17

8

（

b

-

a

）．
故答案為：

17

8

（

b

-

a

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量，梯形，梯形的問(wèn)題，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出平行四邊形和三角形，本題關(guān)鍵在于作梯形腰的平行線并用BH表示出EF，平面向量的問(wèn)題，熟記平行四邊形法則和三角形法則是解題的關(guān)鍵．