Question

【題目】綜合與實(shí)踐：折紙中的數(shù)學(xué)
動手操作：
如圖，將矩形ABCD折疊，點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)B′處，折痕為GH，再將矩形ABCD折疊，點(diǎn)D落在B′H的延長線上，對應(yīng)點(diǎn)為D′，折痕為B′E，延長GH于點(diǎn)F，O為GE的中點(diǎn)．
數(shù)學(xué)思考：

（1）猜想：線段OB′與OD′的數(shù)量關(guān)系是（不要求說理或證明）．
（2）求證：四邊形GFEB′為平行四邊形；
（3）拓展探究：
如圖2，將矩形ABCD折疊，點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)B′，點(diǎn)D對應(yīng)點(diǎn)為D′，折痕分別為GH、EF，∠BHG=∠DEF，延長FD′交B′H于點(diǎn)P，O為GF的中點(diǎn)，試猜想B′O與OP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）OB′=OD′
（2）

解：如圖1，

由折疊得：∠GHB=∠GHB′= ∠B′HB，

∠DB′E=∠D′B′E= ∠D′B′D，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴AD∥BC，

∴∠B′HB=′DB′D′，

∴∠GHB′=∠EB′H，

∴GF∥B′E，

∵∠GB′H=∠B=90°，∠B′D′E=∠D=90°，

∴∠GB′H=∠B′D′E，

∴GB′∥EF，

∴四邊形GB′EF為平行四邊形；

（3）

解：如圖2，

OB′=OP，理由是：

延長HB′交AD于M，延長B′O交D′P于點(diǎn)N，

∠B′HB=2∠GHB，∠DED′=2∠DEF，∠GHB=∠DEF，

∴∠B′HB=∠DED′，

∵AD∥BC，∠DMH=∠B′HB，

∴∠DED′=∠DMH，

∴ED′∥MH，

∴∠B′PN=∠ED′F=90°，

∴∠GB′P=∠B′PN，

∴GB′∥PD′，

∴∠B′GO=∠NFO，

∵∠GOB′=∠FON，GO=OF，

∴△GB′O≌△FNO，

∴B′O=NO，

∴B′O=OP．

【解析】解：（1）如圖1，OB′=OD′，理由是：
連接OF，
由折疊得：∠GB′H=∠B=90°，∠B′D′E=∠D=90°，
∴∠GB′H=∠B′D′E，
∴GB′∥EF，
同理得B′E∥GF，
∴四邊形GFEB′是平行四邊形，
∴OB′=OF，
則B′、O、F共線，
在Rt△B′D′F中，OD′= B′F=OB′，
即OB′=OD′；
【考點(diǎn)精析】利用平行四邊形的判定與性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知若一直線過平行四邊形兩對角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．