Question

如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（9，0），以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，連接AC，BC，過(guò)A，B，C三點(diǎn)作拋物線．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠BCE的平分線CD交⊙O′于點(diǎn)D，連接BD，求直線BD的解析式；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠PDB=∠CBD？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
第三問(wèn)改成，在（2）的條件下，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PCD的面積是△BCD面積的三分之一，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）已知了A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出OA、OB的長(zhǎng)，在直角三角形ACB中由于OC⊥AB，因此可用射影定理求出OC的長(zhǎng)，即可得出C點(diǎn)的坐標(biāo)．然后用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）本題的關(guān)鍵是得出D點(diǎn)的坐標(biāo)，CD平分∠BCE，如果連接O′D，那么根據(jù)圓周角定理即可得出∠DO′B=2∠BCD=∠BCE=90°由此可得出D的坐標(biāo)為（4，-5）．根據(jù)B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式；
（3）本題要分兩種情況進(jìn)行討論：
①過(guò)D作DP∥BC，交D點(diǎn)右側(cè)的拋物線于P，此時(shí)∠PDB=∠CBD，可先用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，然后根據(jù)BC與DP平行，那么直線DP的斜率與直線BC的斜率相同，因此可根據(jù)D的坐標(biāo)求出DP的解析式，然后聯(lián)立直線DP的解析式和拋物線的解析式即可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后將不合題意的舍去即可得出符合條件的P點(diǎn)．
②同①的思路類(lèi)似，先作與∠CBD相等的角：在O′B上取一點(diǎn)N，使BN=BM．可通過(guò)證△NBD≌△MDB，得出∠NDB=∠CBD，然后同①的方法一樣，先求直線DN的解析式，進(jìn)而可求出其與拋物線的交點(diǎn)即P點(diǎn)的坐標(biāo)．
綜上所述可求出符合條件的P點(diǎn)的值．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形相似及全等、探究角相等的構(gòu)成情況等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．