Question

香港的“公屋制度”，解決了30%以上，約200萬(wàn)人口的居住問(wèn)題．內(nèi)地對(duì)公租房建設(shè)也多有討論，但尚未有一個(gè)城市真正的大規(guī)模嘗試．重慶建設(shè)公共租賃住房，意在重點(diǎn)解決“夾心層”住房問(wèn)題，力爭(zhēng)城市保障性住房的“全覆蓋”．經(jīng)過(guò)認(rèn)真調(diào)研，重慶市政府決定，計(jì)劃10年內(nèi)解決低收入人群的住房問(wèn)題．在內(nèi)地城市中首開(kāi)了實(shí)施“公租房”制度，根據(jù)政府安排，前6年年，每年竣工投入使用的公租房面積y（單位：百萬(wàn)平方米），與時(shí)間x的關(guān)系是y=-

1

6

x+5，（x單位：年，1≤x≤6且x為整數(shù)）；后4年，每年竣工投入使用的公租房面積y（單位：百萬(wàn)平方米），與時(shí)間x的關(guān)系是y=

1

4

x+5，（x單位：年，7≤x≤10且x為整數(shù)）；由于部分已修公租房設(shè)施老化需要維修更新，經(jīng)測(cè)算，需要投入更新設(shè)備的資金p（單位：百萬(wàn)元）與年分x的數(shù)量關(guān)系滿(mǎn)足p=30x-34，假設(shè)每年的公租房全部出租完，另外，隨著物價(jià)上漲等因素的影響，每年的租金也隨之上調(diào)，預(yù)計(jì)，第x年投入使用的公租房的租金z（單位：元/㎡）與時(shí)間x（單位：年，1≤x≤10且x為整數(shù)）滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系如下表：

z（元/㎡）	50	52	54	56	58	…
x（年）	1	2	3	4	5	…

（1）求出z與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求政府在第幾年投入的公租房所獲利潤(rùn)最多，最多為多少百萬(wàn)元？
（3）若第6年竣工投入使用的公租房可解決20萬(wàn)人的住房問(wèn)題，政府計(jì)劃在第8年投入的公租房總面積不變的情況下，要讓人均住房面積比第6年人均住房面積提高a%，這樣可解決住房的人數(shù)將比第6年增加1.35a%，求a的值（結(jié)果保留整數(shù)）
（參考數(shù)據(jù)：

3828

=61.87，

3829

=61.88，

3830

=61.89）

Answer 1

分析：（1）由自變量x逐漸增大，而相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值z(mì)逐漸增大，且數(shù)據(jù)均勻增加，可以推測(cè)z是x的一次函數(shù)；
（2）利用公租房收取的租金=公租房租金z（元/m²）×投入使用的公租房面積y（百萬(wàn)平方米）列出二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值即可；
（3）利用第6年人均住房面積×（1+a%）×第6年解決的人數(shù)×（1+1.35a%）=第8年人均住房面積，列方程解決問(wèn)題．

解答：解：（1）設(shè)z=kx+b，把（1，50）（2，52）代入函數(shù)解析式解得k=2，b=48，
所以z=48+2x；

（2）設(shè)第x年竣工并投入使用的公租房收取的租金為w百萬(wàn)元w=y•z-p，
當(dāng)1≤x≤6時(shí)：w=（-

1

6

x+5）（48+2x）-（30x-34）=-

1

3

x²-28x+274，
對(duì)稱(chēng)軸為x=-42，在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)w隨著x的增大而減小，因此當(dāng)x=1時(shí)取得最大值，
x=1時(shí)，W_max=

737

3

（百萬(wàn)元）；
當(dāng)7≤x≤10時(shí)，w=（

1

4

x+5）（48+2x）-（30x-34）=

1

2

x²-8x+274，
對(duì)稱(chēng)軸為x=8，在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)w隨著x的增大而減小，在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)w隨著x的增大而增大，因此當(dāng)x=10時(shí)取得最大值，
x=10時(shí)，W_max=244（百萬(wàn)元）；

737

3

＞244，
即當(dāng)在第1年投入的公租房所獲利潤(rùn)最多，最多

737

3

百萬(wàn)元；

（3）第8年投入的公租房總面積為

1

4

×8+5=7（百萬(wàn)平方米），
第6年投入的公租房總面積為-

1

6

×6+5=4（百萬(wàn)平方米），
4÷20×（1+a%）×20×（1+1.35a%）=7，
解得a%=

-47± 3829

54

，
a%只能取

-47+ 3829

54

≈0.28，
因此a=28．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)，利用基本數(shù)量關(guān)系求二次函數(shù)解析式以及利用性質(zhì)求最大值，并利用基本數(shù)量關(guān)系列方程解決實(shí)際問(wèn)題，是一道綜合性很強(qiáng)的題目．