Question

如圖所示，△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，點(diǎn)D是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠B=∠EDC，

DE

AB

=

DC

BC

，設(shè)CD=x，△EDC的周長(zhǎng)為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求自變量的取值范圍．

Answer 1

分析：首先根據(jù)邊角邊定理證得△ABC∽△EDC．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及CD=x，分別用x表示邊CE、DE的長(zhǎng)．進(jìn)而求得周長(zhǎng)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．根據(jù)勾股定理知△ABC為直角三角形，x的最小值即為斜邊AB上的高，最大值為AC的長(zhǎng)．

解答：∵∠B=∠EDC，

DE

AB

=

DC

BC

∴△ABC∽△EDC（2分）
∵AB=5，AC=4，BC=3，CD=x，
∴DE=

5

3

x，CE=

4

3

x，
∴y=x+

4

3

x+

5

3

x=4x．（4分）
∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴∠C=90°，
∴

12

5

≤CD≤4，即

12

5

≤x≤4．（6分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積計(jì)算．解決本題特別需注意根據(jù)相似比，用x表示出邊CE、DE的長(zhǎng)；勾股定理的幾組特殊值3、4、5，12、5、13等常用的數(shù)據(jù)；