Question

3．對于二次函數(shù)y=x²-3x+2和一次函數(shù)y=-2x+4，把y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）稱為這兩個函數(shù)的“再生二次函數(shù)”，其中t是不為零的實數(shù)，其圖象記作拋物線E，現(xiàn)有點A（2，0）和拋物線E上的點B（-1，n），請完成下列任務；
【嘗試】（1）當t=2時，拋物線y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）的頂點坐標為（1．-2）
（2）判斷點A是否在拋物線E上；
（3）求n的值．
【發(fā)現(xiàn)】通過（2）和（3）的演算可知，對于t取任何不為零的實數(shù)，拋物線E總過定點，坐標為A（2，0）和B（-1，6）．
【應用】（1）二次函數(shù)y=-3x²+5x+2是二次函數(shù)y=x²-3x+3和一次函數(shù)y=-2x+4的一個“再生二次函數(shù)”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由；
（2）以AB為邊作矩形ABCD，使得其中一個頂點落在y軸上；若拋物線E經(jīng)過A，B，C，D其中的三點，求出所有符合條件的t的值．

Answer 1

分析 【嘗試】（1）把t=2代入拋物線的解析式，利用配方法即可解決問題．
（2）邊點A坐標代入即可判斷．
（3）把點B的坐標代入即可求出n的值．
【發(fā)現(xiàn)】觀察上面計算結(jié)果即可判斷．
【應用】（1）根據(jù)“再生二次函數(shù)”的定義，即可判斷．
（2）如圖，作矩形ABC₁D₁和矩形ABC₂D₂，過點B作BK⊥y軸于K，過點D₁作D₁G⊥x軸于G，過點C₂作C₂H⊥y軸于H，過點B作BM⊥x軸于M，C₂H與BM交于點T．
分兩種情形求出C、D兩點坐標，再利用待定系數(shù)法求出t的值即可．

解答 【嘗試】（1）解：當t=2時，
拋物線y=2（x²-3x+2）+（1-2）（-2x+4）
=2x²-4x
=2（x-1）²-2，
∴頂點坐標（1，-2）．
故答案為（1，-2）．

（2）解：∵x=2時，y=t（4-6+2）+（1-t）（-4+4）=0，
∴點A（2，0）在拋物線E上．

（3）解：將（-1，n）代入y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4），
得n=t（1+3+2）+（1-t）（2+4）=6，
∴n的值為6．

【發(fā)現(xiàn)】解：通過（2）和（3）的演算可知，對于t取任何不為零的實數(shù)，拋物線E總過定點，坐標為A（2，0）和B（-1，6）．
故答案為A（2，0）和B（-1，6）．

【應用】解：（1）不是．
∵將x=-1代入y=-3x²+5x+2，得到y(tǒng)=-6≠6，
∴二次函數(shù)y=y=-3x²+5x+2的圖象不經(jīng)過等B，
∴二次函數(shù)y=-3x²+5x+2不是二次函數(shù)y=x²-3x+3和一次函數(shù)y=-2x+4的一個“再生二次函數(shù)”．

（2）如圖，作矩形ABC₁D₁和矩形ABC₂D₂，過點B作BK⊥y軸于K，過點D₁作D₁G⊥x軸于G，過點C₂作C₂H⊥y軸于H，過點B作BM⊥x軸于M，C₂H與BM交于點T．

∵AM=3，BM=6，BN=1，
由△KBC₁∽△MBA，得$\frac{AM}{BM}$=$\frac{{C}_{1}K}{BK}$，即$\frac{3}{6}$=$\frac{{C}_{1}K}{1}$，解得C₁K=$\frac{1}{2}$，
∴C₁（0，$\frac{13}{2}$），
由△KBC₁≌△GAD₁，得到AG=KB=1，GD₁=KC₁=$\frac{1}{2}$，
∴D₁（3，$\frac{1}{2}$），
由△OAD₂∽△GAD₁，得到$\frac{{D}_{1}G}{O{D}_{2}}$=$\frac{AG}{OA}$，可得OD₂=1，
∴D₂（0，-1），
由△TBC₂≌△OD₂A，得到TC₂=OA=2，BT=OD₂=1，
∴C₃（-3，5），
∵拋物線總是經(jīng)過A、B，
∴符合條件的三點只可能是A、B、C或A、B、D．
①當拋物線經(jīng)過A、B、C₁時，將C₁（0，$\frac{13}{2}$）代入y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4），得到t=-$\frac{5}{4}$，
②當拋物線經(jīng)過A、B、D₁時，將D₁（3，$\frac{1}{2}$）代入y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4），得到t=$\frac{5}{8}$，
③當拋物線經(jīng)過A、B、C₂時，將C₂（-3，5）代入y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4），得到t=-$\frac{1}{2}$
④當拋物線經(jīng)過A、B、D₂時，將D₂（0，-1）代入y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4），得到t=$\frac{5}{2}$，
綜上所述，滿足條件的t的值為-$\frac{5}{4}$或$\frac{5}{8}$或-$\frac{1}{2}$或$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、一次函數(shù)的應用、矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是理解題意，學會用分類討論的思想思考問題，靈活應用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，屬于中考壓軸題．