在△ABC中,AB=AC=6,作邊AC的垂直平分線,與AC交于點(diǎn)D,與直線AB交于點(diǎn)E,與直線BC交于點(diǎn)F,若DE=4,則CF=
 
考點(diǎn):線段垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)
專題:
分析:作出圖形,根據(jù)線段垂直平分線的定義可得AD=CD=
1
2
AC,利用勾股定理求出AE,再求出BE,過點(diǎn)G作BG⊥AC于G,利用平行線分線段成比例定理求出DG,再求出CG,然后求出△CBG和△CFD相似,利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出DF,再利用勾股定理列式求出CF即可.
解答:解:如圖,∵DE垂直平分AC,
∴AD=CD=
1
2
AC=3,
由勾股定理得,AE=
AD2+DE2
=
32+42
=5,
∵AB=6,
∴BE=AB-AE=6-5=1,
過點(diǎn)G作BG⊥AC于G,
則DE∥BG,
AE
BE
=
AD
DG
,
5
1
=
3
DG
,
解得DG=
3
5

所以,CG=CD-DG=3-
3
5
=
12
5
,
∴BG=
AB2-AG2
=
62-(3+
3
5
)2
=
24
5
,
∵DE∥BG,
∴△CBG∽△CFD,
BG
DF
=
CG
CD
,
24
5
DF
=
12
5
3
,
解得DF=6,
在Rt△CDF中,CF=
DF2+CD2
=
62+32
=3
5

故答案為:3
5
點(diǎn)評(píng):本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì),勾股定理,平行線分線段成比例定理,相似三角形的判定與性質(zhì),熟記各性質(zhì)并最后求出DF的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵,作出圖形更形象直觀.
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