Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M分別交坐標(biāo)軸于點(diǎn)A、B、C，圓的半徑為

5

，點(diǎn)M（1，-1）．
（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)．
（2）若拋物線y=x²+bx+c過點(diǎn)C和點(diǎn)D（2，-3），求拋物線的解析式，并驗(yàn)證A、B兩點(diǎn)是否在此拋物線上；
（3）在（2）中拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得直線PO把△BOC的面積分成1：2兩部分？若存在，求出直線PO的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)M作線段AB、OC的垂線，根據(jù)垂徑定理和勾股定理來(lái)確定點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)．
（2）已求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得到拋物線的解析式，然后將A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入其中進(jìn)行驗(yàn)證即可．
（3）設(shè)直線OP與線段BC的交點(diǎn)為G，首先求出△OBC的面積，根據(jù)題意可以發(fā)現(xiàn)，△OBG的面積應(yīng)該是△OBC面積的

1

3

或

2

3

，在得到△OBC的面積后進(jìn)一步的求出點(diǎn)G的縱坐標(biāo)，而直線OBC的解析式易求得，那么點(diǎn)G的坐標(biāo)就能確定出來(lái)，再由待定系數(shù)法求出直線OG（即直線OP）的解析式．

解答：解：（1）過M作ME⊥AB于E，MF⊥OC于F，如右圖；
在Rt△MBE中，MB=

5

，ME=1，則 BE=

BM2-BE2

=

5-1

=2；
∴OB=OE+BE=1+2=3，即 B（3，0），同理可得 A（-1，0）、C（0，-3）．

（2）依題意，有：

c=-3 4+2b+c=-3

，
解得

b=-2 c=-3

故拋物線的解析式：y=x²-2x-3；
當(dāng)x=-1時(shí)，y=1+2-3=0，所以點(diǎn)A在拋物線的圖象上；
同理，可證得點(diǎn)B也在拋物線的圖象上．

（3）由B（3，0）、C（0，-3）可求得，直線BC：y=x-3；
設(shè)直線OP與線段BC的交點(diǎn)為G，則G（x，x-3）（x＞0）；
S_△OBC=

1

2

×3×3=

9

2

，
∴S_△OBG=

1

3

S_△OBC=

3

2

或S_△OBG=

2

3

S_△OBC=3；
①當(dāng)S_△OBG=

1

2

×OB×|y_G|=

1

2

×3×（3-x）=

3

2

時(shí)，x=2，則 G（2，-1）；
直線OG：y=-

1

2

x；
②當(dāng)S_△OBG=

1

2

×OB×|y_G|=

1

2

×3×（3-x）=3時(shí)，x=1，則 G（1，-2）；
直線OG：y=-2x；
綜上，存在符合條件的直線OP，且解析式為：y=-

1

2

x或y=-2x．

點(diǎn)評(píng)：此題的難度適中，主要考查了：函數(shù)解析式的確定、垂徑定理和勾股定理的綜合應(yīng)用以及三角形面積的求法等綜合知識(shí)．（3）題中，△BOC的兩部分并沒有明確面積大的部分在上還是在下，因此要分類進(jìn)行討論，以免漏解．