Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于點(diǎn)D，BD=8cm．點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC的方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)直線PQ由點(diǎn)B出發(fā)，沿BA的方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持PQ∥AC，直線PQ交AB于點(diǎn)P、交BC于點(diǎn)Q、交BD于點(diǎn)F．連接PM，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t≤5）．線段CM的長(zhǎng)度記作y甲 ， 線段BP的長(zhǎng)度記作y乙 ， y甲和y乙關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)變化情況如圖所示．

（1）由圖2可知，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度是每秒cm，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCM是平行四邊形？在圖2中反映這一情況的點(diǎn)是；
（2）設(shè)四邊形PQCM的面積為ycm2 ， 求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使S四邊形PQCM= S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由；
（4）連接PC，是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)M在線段PC的垂直平分線上？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）2,E（ , ）
（2）解：∵PQ∥AC，

∴△PBQ∽△ABC，

∴△PBQ為等腰三角形，PQ=PB=t，

∴ ，即 ，

解得：BF= t，

∴FD=BD﹣BF=8﹣ t，

又∵M(jìn)C=AC﹣AM=10﹣2t，

∴y= （PQ+MC）FD= （t+10﹣2t）（8﹣ t）= t2﹣8t+40；

（3）解：存在；

∵S△ABC= ACBD= ×10×8=40，

當(dāng)S四邊形PQCM= S△ABC時(shí)，y= t2﹣8t+40=20，

解得：t=10﹣5 ，或t=10+5 （不合題意，舍）；

即：t=10﹣5 時(shí)，S四邊形PQCM= S△ABC．

（4）解：假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使得M在線段PC的垂直平分線上，則MP=MC，

過(guò)M作MH⊥AB，交AB與H，如圖所示：

∵∠A=∠A，∠AHM=∠ADB=90°，

∴△AHM∽△ADB，

∴ ，

又∵AD=6，

∴ ，

∴HM= t，AH= t，

∴HP=10﹣t﹣ t=10﹣ t，

在Rt△HMP中，MP2=（ t）2+（10﹣ t）2= t2﹣44t+100，

又∵M(jìn)C2=（10﹣2t）2=100﹣40t+4t2，

∵M(jìn)P2=MC2，

∴ t2﹣44t+100=100﹣40t+4t2，

解得 t1= ，t2=0（舍去），

∴t= s時(shí)，點(diǎn)M在線段PC的垂直平分線上．

【解析】解：（1）由圖2得，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s，PQ的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，

∵四邊形PQCM是平行四邊形，則PM∥QC，

∴AP：AB=AM：AC，

∵AB=AC，

∴AP=AM，即10﹣t=2t，

解得：t= ，

∴當(dāng)t= 時(shí)，四邊形PQCM是平行四邊形，此時(shí)，圖2中反映這一情況的點(diǎn)是E（ ， ）

所以答案是：2，E（ ， ）．

【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)，掌握對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形即可以解答此題．