Question

在△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO．連接AD、BC，點M、N、P分別為OA、OD、BC的中點．
①若A、O、C三點在同一直線上，且∠ABO=2α，則

AD

BC

=

 

（用含有α的式子表示）；
②固定△AOB，將△COD繞點O旋轉，PM最大值為

 

．

Answer 1

分析：（1）連接BM、CN，則BM⊥OA，CN⊥OD，由四點共圓的判定知點B、C、M、N在以BC為直徑的圓，且有MP=PN=BC÷2，而MN是△AOD的中位線，有MN等于AD的一半，故AD：BC=MN：PM，而可求得△PMN∽△BAO，有MN：PN=AO：AB=2sinα，從而求得AD：BC的值；
（2）當DC∥AB時，即四邊形ABCO是梯形時，PM有最大值，由梯形的中位線的公式可求解．

解答：解：連接BM、CN，
由題意知BM⊥OA，CN⊥OD，∠AOB=∠COD=90°-α，
∵A、O、C三點在同一直線上，
∴B、O、D三點也在同一直線上，
∴∠BMC=∠CNB=90°，
∵P為BC中點，
∴在Rt△BMC中，PM=

1

2

BC，在Rt△BNC中，PN=

1

2

BC，
∴PM=PN，
∴B、C、N、M四點都在以點P為圓心，

1

2

BC為半徑的圓上，
∴∠MPN=2∠MBN，
又∵∠MBN=

1

2

∠ABO=α，
∴∠MPN=∠ABO，
∴△PMN∽△BAO，
∴

MN

PM

=

AO

BA

，
由題意知MN=

1

2

AD，PM=

1

2

BC，
∴

AD

BC

=

MN

PM

，
∴

AD

BC

=

AO

BA

，
在Rt△BMA中，

AM

AB

=sinα，
∵AO=2AM，
∴

AO

BA

=2sinα，
∴

AD

BC

=2sinα；

（2）當DC∥AB時，即四邊形ABCO是梯形時，PM有最大值．
PM=（AB+CD）÷2=（2+3）÷2=

5

2

．

點評：本題利用了相似三角形的性質和等腰三角形的性質：三線合一、四點共圓的判定、正弦的概念、梯形的中位線的性質求解