Question

已知：在△AOB中，AB=4

2

，OB=6，∠B=45°，以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系   
（1）寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)：

（2，4）

；
（2）C為線段OB上的動點(diǎn)，D為線段AB上的動點(diǎn)，且始終有CD∥OA，若C由O向B運(yùn)動的距離OC=x，△ACD的面積為y
①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
②是否存在這樣的點(diǎn)D，使△AOC的面積等于△ACD的面積的2倍？若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，否則請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G，解等腰直角三角形ABG，得到AG=BG=

2

2

AB=4，則OG=2，進(jìn)而求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）①過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，由CD∥OA，得出△BCD∽△BOA，根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比得出DH=

2

3

（6-x），再由S_△ACD=S_△ABC-S_△BCD，將數(shù)據(jù)代入，即可得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
②根據(jù)△AOC的面積等于△ACD的面積的2倍，列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進(jìn)而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答：解：（1）過點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G，則∠AGB=90°．
在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=4

2

，∠B=45°，
∴AG=BG=4

2

×

2

2

=4，
∴OG=OB-BG=6-4=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4）．
故答案為（2，4）；

（2）①過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H．
∵CD∥OA，
∴△BCD∽△BOA，
∴

DH

AG

=

BC

OB

，即

DH

4

=

6-x

6

，
∴DH=

2

3

（6-x）．
∵S_△ACD=S_△ABC-S_△BCD=

1

2

BC•AG-

1

2

BC•DH，
∴y=

1

2

（6-x）×4-

1

2

（6-x）•

2

3

（6-x）=-

1

3

x²+2x，
即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-

1

3

x²+2x；

②存在這樣的點(diǎn)D，能夠使△AOC的面積等于△ACD的面積的2倍．
∵S_△AOC=

1

2

OC•AG=

1

2

x×4=2x，
∴2x=2（-

1

3

x²+2x），
整理，得

1

3

x²-x=0，
解得x₁=3，x₂=0（不合題意舍去），
∴x=3．
當(dāng)x=3時，BH=DH=

2

3

（6-x）=

2

3

×（6-3）=2，
∴OH=OB-BH=6-2=4，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，2）．

點(diǎn)評：本題考查了解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，綜合性較強(qiáng)，難度適中，得出DH的長度是解題的關(guān)鍵．