Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（0，6），其對(duì)稱軸為直線x=

3

2

．在x軸上方作平行于x軸的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在對(duì)稱軸的右側(cè)），過點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足分別為D、C． 設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m．
（1）求此拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，矩形ABCD為正方形．
（3）當(dāng)m為何值時(shí)，矩形ABCD的周長最大，并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先根據(jù)對(duì)稱軸求得b值，然后代入點(diǎn)（0，6）求得c值即可；
（2）①首先用含m的代數(shù)式表示出線段AB、AD的長，然后利用正方形ABCD的AB=CD得到有關(guān)m的等式求得m的值即可；
②表示出正方形的周長，然后利用配方法求最值即可；

解答：解：（1）∵對(duì)稱軸為直線x=

3

2

，
∴-

b

2×(-1)

=

3

2

，
∴b=3．
把（0，6）代入y=-x²+3x+c得，
6=-0+3×0+c，
解得c=6．
∴此拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x²+3x+6．

（2）根據(jù)題意，得：AB=2(m-

3

2

)=2m-3
，AD=-m²+3m+6．
∵ABCD為正方形，AB=AD．
∴2m-3=-m²+3m+6，
解得m=

1± 37

2

．
∵點(diǎn)A在對(duì)稱軸的右側(cè)，
∴m＞

3

2

．
∴m=

1- 37

2

舍去．
∴m=

1+ 37

2

．

（3）設(shè)矩形ABCD的周長為C．
C=2[(2m-3)+(-m2+3m+6)]=-2(m-

5

2

)2+

37

2

．
∴當(dāng)m=

5

2

時(shí)，矩形ABCD的周長最大為

37

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、配方法確定二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及最值等知識(shí)，難度中等，能夠考查同學(xué)們應(yīng)用知識(shí)的能力．