Question

（2012•泉州）如圖，O為坐標(biāo)原點，直線l繞著點A（0，2）旋轉(zhuǎn)，與經(jīng)過點C（0，1）的二次函數(shù)y=

1

4

x²+h的圖象交于不同的兩點P、Q．
（1）求h的值；
（2）通過操作、觀察，算出△POQ的面積的最小值（不必說理）；
（3）過點P、C作直線，與x軸交于點B，試問：在直線l的旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形AOBQ是否為梯形？若是，請說明理由；若不是，請指出四邊形的形狀．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征，利用待定系數(shù)法求得h的值．
（2）該小題應(yīng)從三角形的面積公式入手分析，首先要選取合適的底和高；在△POQ中，OA的長是不變的，那么若以O(shè)A為底，P、Q到y(tǒng)軸的距離和為高，即可得到△PQO的面積．先設(shè)P點橫坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線、直線PA的解析式求出Q點橫坐標(biāo)，通過不等式的相關(guān)知識即可解出P、Q到y(tǒng)軸距離和的最小值．
（3）判斷四邊形AOBQ的形狀，可從四個頂點的坐標(biāo)特征上來判斷．首先設(shè)出P、Q的坐標(biāo)，然后根據(jù)點P、C求出直線BC的解析式，進(jìn)而表示出點B的坐標(biāo)，然后再通過直線PQ以及P、A、Q三點坐標(biāo)，求出Q、B兩點坐標(biāo)之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)而判斷該四邊形是否符合梯形的特征．（需要注意的是：判定梯形的條件：一組對邊平行且另一組對邊不平行）

解答：解：（1）∵拋物線y=

1

4

x²+h經(jīng)過點C（0，1），
∴

1

4

×0+h=1，
解得h=1．

（2）依題意，設(shè)拋物線y=

1

4

x²+1上的點，P（a，

1

4

a²+1）、Q（b，

1

4

b²+1）（a＜0＜b）
過點A的直線l：y=kx+2經(jīng)過點P、Q，
∴

1

4

a²+1=ak+2…①

1

4

b²+1=bk+2…②
①×b-②×a得：

1

4

（a²b-b²a）+b-a=2（b-a），
化簡得：b=-

4

a

；
∴S_△POQ=

1

2

OA•|x_Q-x_P|=

1

2

•OA•|-

4

a

-a|=（-

4

a

）+（-a）≥2•

(- 4 a )•(-a)

=4
由上式知：當(dāng)-

4

a

=-a，即|a|=|b|（P、Q關(guān)于y軸對稱）時，△POQ的面積最��；
即PQ∥x軸時，△POQ的面積最小，且POQ的面積最小為4．

（3）連接BQ，若l與x軸不平行（如圖），即PQ與x軸不平行，
依題意，設(shè)拋物線y=

1

4

x²+1上的點，P（a，

1

4

a²+1）、Q（b，

1

4

b²+1）（a＜0＜b）
直線BC：y=k₁x+1過點P，
∴

1

4

a²+1=ak₁+1，得k₁=

1

4

a，
即y=

1

4

ax+1．
令y=0得：x_B=-

4

a

，
同理，由（2）得：b=-

4

a

∴點B與Q的橫坐標(biāo)相同，
∴BQ∥y軸，即BQ∥OA，
又∵AQ與OB不平行，
∴四邊形AOBQ是梯形，
據(jù)拋物線的對稱性可得（a＞0＞b）結(jié)論相同．
故在直線l旋轉(zhuǎn)的過程中：當(dāng)l與x軸不平行時，四邊形AOBQ是梯形；當(dāng)l與x軸平行時，四邊形AOBQ是正方形．

點評：題目考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點坐標(biāo)的求法、不等式的應(yīng)用、三角形面積的解法、梯形的判定等知識，綜合性強(qiáng)，難度較大．注意在判定梯形時不要遺漏“一邊不平行”的條件．