Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，2），點(diǎn)M（m，n）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，位于對(duì)稱軸的左側(cè)，并且不在坐標(biāo)軸上，過點(diǎn)M作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)Q，交拋物線于另一點(diǎn)E，直線BM交y軸于點(diǎn)F．
（1）求拋物線的解析式，并寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)S_△MFQ：S_△MEB=1：3時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）y=﹣x²+x+2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；（2）（1，3）或（﹣12，﹣88）．

試題分析：（1）把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式得到關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，然后求解即可，再把函數(shù)解析式整理成頂點(diǎn)式形式，然后寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)表示出點(diǎn)Q、E的坐標(biāo)，再設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b（k≠0），然后利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，再求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后求出MQ、FQ、ME，再表示出△MFQ和△MEB的面積，然后列出方程并根據(jù)m的取值范圍整理并求解得到m的值，再根據(jù)點(diǎn)M在拋物線上求出n的值，然后寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可．
試題解析：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），
∴，
解得，
∴y=﹣x²+x+2，
∵y=﹣x²+x+2=﹣（x²﹣3x+）++2=﹣（x﹣）²+，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；
（2）∵M(jìn)（m，n），
∴Q（0，n），E（3﹣m，n），
設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b（k≠0），
把B（4，0），M（m，n）代入得，
解得，
∴，
令x=0，則y=，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，），
∴MQ=|m|，F(xiàn)Q=|﹣n|=||，ME=|3﹣m﹣m|=|3﹣2m|，
∴S_△MFQ=MQ•FQ=|m|•||=||，
S_△MEB=ME•|n|=•|3﹣2m|•|n|，
∵S_△MFQ：S_△MEB=1：3，
∴||×3=•|3﹣2m|•|n|，
即||=|3﹣2m|，
∵點(diǎn)M（m，n）在對(duì)稱軸左側(cè)，
∴m＜，
∴=3﹣2m，
整理得，m²+11m﹣12=0，
解得m₁=1，m₂=﹣12，
當(dāng)m₁=1時(shí)，n₁=﹣×12+×1+2=3，
當(dāng)m₂=﹣12時(shí)，n₂=﹣×（﹣12）²+×（﹣12）+2=﹣88，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，3）或（﹣12，﹣88）．