Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，OD⊥BC于E，交于D．
（1）請寫出四個不同類型的正確結論；
①______；②______；③______；④______．
（2）若BC=8，ED=2，求AC；
（3）在（2）的條件下，連接BD、CD，求四邊形ABDC的面積．

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，
∵OD⊥BC于E，交于D，
∴CE=BE，=，
∵AC⊥BC，OD⊥BC，
∴OE∥AC．
故答案為：AC⊥BC；CE=BE；=；OE∥AC；

（2）如圖1，連接OC，設OC=r，則OE=r-ED=r-2，
∵OD⊥BC，BC=8，
∴CE=BC=×8=4，
在Rt△OCE中，OC²=OE²+CE²，即r²=（r-2）²+4²，解得r=5，
∴OE=5-2=3，
∵由（1）知，OE∥AC，點O是線段AB的中點，
∴OE是△ABC的中位線，
∴AC=2OE=2×3=6；

（3）如圖2，∵AC=6，BC=8，ED=2，
∴S_{四邊形ABDC}=S_△ABC+S_△BCD=AC•BC+BC•ED=×6×8+×8×2=32．
分析：（1）根據(jù)AB是⊙O的直徑可知∠ACB=90°，再由OD⊥BC于E，交于D可知CE=BE，=，因為∠ACB=90°，OD⊥BC可知OE∥AC；
（2）連接OC，設OC=r，則OE=r-ED=r-2，再根據(jù)垂徑定理求出CE的長，在Rt△OCE中利用勾股定理求出r的值，進而可得出OE的長，由（1）可知，OE∥AC，因為點O是線段AB的中點，所以OE是△ABC的中位線，故AC=2OE，由此即可得出結論．
（3）直接根據(jù)S_{四邊形ABDC}=S_△ABC+S_△BCD解答即可．
點評：本題考查的是垂徑定理及勾股定理，三角形的面積等相關知識，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．