Question

如圖，在菱形ABCD中，∠B=60°，點E、F分別在邊AB、AD上，且AE=DF．
（1）試猜想△ECF的形狀，并說明理由．
（2）若AB=10，那么△ECF的周長是否存在最小值？如果存在，請求出來；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AC，從而可證明△CDF≌△CEA，這樣可得出∠ECF=60°，CE=CF，從而可判斷△ECF是等邊三角形．
（2）△ECF的邊長最短時周長最小，求出CE的最小值即可得出答案，很明顯當CE⊥AB時長度最小，這樣根據(jù)∠B=60°即可得出答案．

解答：解：△ECF是等邊三角形．
證明：連接AC，
∵∠B=60°，
∴AC=AB=CD，∠D=∠CAE=60°
又∵AE=FD，
∴△CDF≌△CEA（SAS），
∴CE=EF，∠ACE=∠DCF，
而∠DCF+∠FCA=60°，
∴∠ACE+FCA=60°=∠ECF，
∴△ECF是等邊三角形．
（2）存在．
很明顯當CE⊥AB時長度最小，
此時CE=BCsin∠B=5

3

，
∴最小周長=15

3

．

點評：本題考查菱形的性質及全等三角形的判定，有一定的難度，解答本題的關鍵是熟練掌握菱形的性質，另外第二問的最小值問題，需要用到垂線段最短的知識．