Question

矩形ABCD的對(duì)角線交于O點(diǎn)，一條邊的長(zhǎng)為1，△AOB是正三角形，則這個(gè)矩形的周長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專(zhuān)題：壓軸題

分析：畫(huà)出圖形，根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分且相等可得AC=2OB，再根據(jù)等邊三角形的三邊都相等，然后求出AC=2AB，然后分①AB=1時(shí)，利用勾股定理列式求出BC，②BC=1時(shí)，利用勾股定理列式求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)矩形的周長(zhǎng)公式列式計(jì)算即可得解．

解答：解：在矩形ABCD中，AC=2OB，
∵△AOB是正三角形，
∴OB=AB，
∴AC=2AB，
①AB=1時(shí)，AC=2，
根據(jù)勾股定理，BC=

AC2-AB2

=

22-12

=

3

，
所以，矩形的周長(zhǎng)=2（AB+BC）=2（1+

3

）=2+2

3

；
②BC=1時(shí)，根據(jù)勾股定理，AB²+BC²=AC²，
所以，AB²+1²=（2AB）²，
解得AB=

3

3

，
所以，矩形的周長(zhǎng)=2（AB+BC）=2（

3

3

+1）=

2 3

3

+2；
綜上所述，矩形的周長(zhǎng)為2+2

3

或

2 3

3

+2．
故答案為：2+2

3

或

2 3

3

+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的對(duì)角線互相平分且相等的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于要分情況討論．