Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形ABCO是菱形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，4），點(diǎn)C在x軸的正半軸上，直線AC交y軸于點(diǎn)M，AB邊交y軸于點(diǎn)H．
（1）求直線AC的解析式；
（2）連接BM，如圖2，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線ABC方向以2個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)△PMB的面積為S（S≠0），點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（要求寫出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，∠MPB與∠BCO互為余角，并求此時(shí)直線OP與直線AC所夾銳角的正切值．

Answer 1

（1）過點(diǎn)A作AE⊥x軸垂足為E，如圖（1）
∵A（-3，4），
∴AE=4OE=3，
∴OA=

AE2+OE2

=5，
∵四邊形ABCO為菱形，
∴OC=CB=BA=0A=5，
∴C（5，0）（1分）
設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，
∵

5k+b=0 -3k+b=4

，
∴

k=- 1 2 b= 5 2

，
∴直線AC的解析式為y=-

1

2

x+

5

2

．（1分）

（2）由（1）得M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

5

2

），
∴OM=

5

2

，
如圖（1），當(dāng)P點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)
由題意得OH=4，
∴HM=OH-OM=4-

5

2

=

3

2

，
∴s=

1

2

BP•MH=

1

2

（5-2t）•

3

2

，
∴s=-

3

2

t+

15

4

（0≤t＜

5

2

），2分
當(dāng)P點(diǎn)在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記為P₁，
∵∠OCM=∠BCM，CO=CB，CM=CM，
∴△OMC≌△BMC，
∴OM=BM=

5

2

，∠MOC=∠MBC=90°，
∴S=

1

2

P₁B•BM=

1

2

（2t-5）

5

2

，
∴S=

5

2

t-

25

4

（

5

2

＜t≤5），2分

（3）設(shè)OP與AC相交于點(diǎn)Q連接OB交AC于點(diǎn)K，
∵∠AOC=∠ABC，
∴∠AOM=∠ABM，
∵∠MPB+∠BCO=90°，∠BAO=∠BCO，∠BAO+∠AOH=90°，
∴∠MPB=∠AOH，
∴∠MPB=∠MBH．
當(dāng)P點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖（2）
∵∠MPB=∠MBH，
∴PM=BM，
∵M(jìn)H⊥PB，
∴PH=HB=2，
∴PA=AH-PH=1，
∴t=

1

2

，（1分）
∵AB∥OC，
∴∠PAQ=∠OCQ，
∵∠AQP=∠CQO，
∴△AQP∽△CQO，
∴

AQ

CQ

=

AP

CO

=

1

5

，
在Rt△AEC中，AC=

AE2+EC2

=

42+82

=4

5

，
∴AQ=

2 5

3

，QC=

10 5

3

，
在Rt△OHB中，OB=

HB2+HO2

=

22+42

=2

5

，
∵AC⊥OB，OK=KB，AK=CK，
∴OK=

5

，AK=KC=2

5

，
∴QK=AK-AQ=

4 5

3

，
∴tan∠OQC=

OK

QK

=

3

4

，（1分）
當(dāng)P點(diǎn)在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖（3），
∵∠BHM=∠PBM=90°，∠MPB=∠MBH，
∴tan∠MPB=tan∠MBH，
∴

BM

BP

=

HM

HB

，即

5 2

BP

=

3 2

2

，
∴BP=

10

3

，
∴t=

25

6

，（1分）
∴PC=BC-BP=5-

10

3

=

5

3

．
由PC∥OA，同理可證△PQC∽△OQA，
∴

CQ

AQ

=

CP

AO

，
∴

CQ

AQ

=

1

3

，
CQ=

1

4

AC=

5

，
∴QK=KC-CQ=

5

，
∵OK=

5

，
∴tan∠OQK=

OK

KQ

=1．（1分）
綜上所述，當(dāng)t=

1

2

時(shí)，∠MPB與∠BCO互為余角，直線OP與直線AC所夾銳角的正切值為

3

4

．
當(dāng)t=

25

6

時(shí)，∠MPB與∠BCO互為余角，直線OP與直線AC所夾銳角的正切值為1．