(1)如圖1,OC平分∠AOB,點(diǎn)P在OC上,若⊙P與OA相切,那么⊙P與OB位置關(guān)系是
相切
相切

(2)如圖2,⊙O的半徑為2,∠AOB=120°,
①若點(diǎn)P是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PA=PB時(shí),是否存在⊙Q,同時(shí)與射線(xiàn)PA、PB相切且與⊙O相切?如果存在,求出⊙Q的半徑;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
②若點(diǎn)P在BO的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且滿(mǎn)足PA⊥PB,是否存在⊙Q,同時(shí)與射線(xiàn)PA、PB相切且與⊙O相切?如果存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出⊙Q的半徑;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)作PD⊥OA于A,PE⊥OB于B,則根據(jù)角平分線(xiàn)定義得到PD=PE,根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)由⊙P與OA相切得到PD為⊙P的半徑,然后根據(jù)切線(xiàn)的判定定理可得到OB為⊙P的切線(xiàn);
(2)①由PA=PB得到點(diǎn)P為∠AOB的平分線(xiàn)或反向延長(zhǎng)線(xiàn)與⊙O的交點(diǎn),分類(lèi)討論:當(dāng)P點(diǎn)在優(yōu)弧AB上時(shí),作QC⊥PA于C,易得∠CPQ=30°,設(shè)⊙Q的半徑為r,即QC=r,則PQ=2r,則OQ=2r-2,根據(jù)兩圓相切的性質(zhì)得
2r-2=2-r或2r-2=2+r;同理可得
2
3
3
r-2=2-r和
2
3
3
r-2=2+r,然后解四個(gè)方程即可得到滿(mǎn)足條件的⊙Q的半徑;
②作QH⊥PB于H,由PA⊥PB得∠APB=90°,由⊙Q與射線(xiàn)PA、PB相切,根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得PQ平分∠APB,即∠QPH=45°,所以QH=PH,在Rt△POA中易得OP=1,設(shè)⊙Q的半徑為r,即PH=QH=r,則OH=PH-OP=r-1,在Rt△OQH中,根據(jù)勾股定理得OQ2=OH2+QH2=(r-1)2+r2
若⊙Q與⊙O內(nèi)切時(shí),OQ=2-r,得到(2-r)2=(r-1)2+r2,若⊙Q與⊙O外切時(shí),OQ=2+r,得到(2+r)2=(r-1)2+r2,然后解兩個(gè)方程即可得到滿(mǎn)足條件的⊙Q的半徑.
解答:解:(1)作PD⊥OA于A,PE⊥OB于B,如圖1,
∵OC平分∠AOB,
∴PD=PE,
∵⊙P與OA相切,
∴PD為⊙P的半徑,
∴PE為⊙的半徑,
而PE⊥OB,
∴OB為⊙P的切線(xiàn);
故答案為相切;

(2)①存在.
∵PA=PB,
∴點(diǎn)P為∠AOB的平分線(xiàn)或反向延長(zhǎng)線(xiàn)與⊙O的交點(diǎn),
如圖2,
當(dāng)P點(diǎn)在優(yōu)弧AB上時(shí),作QC⊥PA于C,
∴∠CPQ=30°,
設(shè)⊙Q的半徑為r,即QC=r,則PQ=2r,
∴OQ=2r-2,
若⊙Q與⊙O內(nèi)切時(shí),2r-2=2-r,解得r=
4
3
;
若⊙Q與⊙O外切時(shí),2r-2=2+r,解得r=4;
當(dāng)P點(diǎn)在劣弧AB上時(shí),即在P′處,
作Q′C⊥PA于C,
∴∠DQ′P′=30°,
設(shè)⊙Q′的半徑為r,即Q′D=r,則P′D=
3
3
r,Q′P′=
2
3
3
r,
∴OQ′=
2
3
3
r-2,
若⊙Q′與⊙O內(nèi)切時(shí),
2
3
3
r-2=2-r,解得r=8
3
-12;
若⊙Q與⊙O外切時(shí),
2
3
3
r-2=2+r,解得r=8
3
+12;
綜上所述,存在⊙Q,半徑可以為
4
3
,4,8
3
-12,8
3
+12;
②存在.作QH⊥PB于H,如圖3,
∵PA⊥PB,
∴∠APB=90°,
∵⊙Q與射線(xiàn)PA、PB相切,
∴PQ平分∠APB,
∴∠QPH=45°,
∴△QHP為等腰直角三角形,
∴QH=PH,
在Rt△POA中,∠AOP=60°,OA=2,
∴OP=1,
設(shè)⊙Q的半徑為r,即PH=QH=r,則OH=PH-OP=r-1,
在Rt△OQH中,OQ2=OH2+QH2=(r-1)2+r2,
若⊙Q與⊙O內(nèi)切時(shí),OQ=2-r,則(2-r)2=(r-1)2+r2,解得r1=1,r2=-3(舍去);
若⊙Q與⊙O外切時(shí),OQ=2+r,則(2+r)2=(r-1)2+r2,解得r1=3+2
3
,r2=3-2
3
(舍去);
綜上所述,存在⊙Q,其半徑可以為1,3+2
3
點(diǎn)評(píng):本題考查了圓的綜合題:熟練掌握切線(xiàn)的判定與性質(zhì)、角平分線(xiàn)定理、圓周角定理和兩圓相切的判定與性質(zhì);會(huì)運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì);會(huì)根據(jù)勾股定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系進(jìn)行幾何計(jì)算.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,張伯伯利用假日在某釣魚(yú)場(chǎng)釣魚(yú),風(fēng)平浪靜時(shí),魚(yú)漂露出水面部分AB=6cm,微風(fēng)吹來(lái),假設(shè)鉛垂P不動(dòng),魚(yú)漂移動(dòng)了一段距離BC,且頂端恰好與水面齊平,(即PA=PC)水平l與OC的夾角α為8°(點(diǎn)A在OC上),求鉛錘P處的水深h.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•浙江一模)如圖1,在平面上,給定了半徑為r的⊙O,對(duì)于任意點(diǎn)P,在射線(xiàn)OP上取一點(diǎn)P′,使得OP•OP′=r2,這種把點(diǎn)P變?yōu)辄c(diǎn)P′的變換叫做反演變換,點(diǎn)P與點(diǎn)P′叫做互為反演點(diǎn),⊙O稱(chēng)為基圓.
(1)如圖2,⊙O內(nèi)有不同的兩點(diǎn)A、B,它們的反演點(diǎn)分別是A′、B′,則與∠A′一定相等的角是
(C)
(C)

(A)∠O         (B)∠OAB        (C)∠OBA           (D)∠B′
(2)如圖3,⊙O內(nèi)有一點(diǎn)M,請(qǐng)用尺規(guī)作圖畫(huà)出點(diǎn)M的反演點(diǎn)M′;(保留畫(huà)圖痕跡,不必寫(xiě)畫(huà)法).
(3)如果一個(gè)圖形上各點(diǎn)經(jīng)過(guò)反演變換得到的反演點(diǎn)組成另一個(gè)圖形,那么這兩個(gè)圖形叫做互為反演圖形.已知基圓O的半徑為r,另一個(gè)半徑為r1的⊙C,作射線(xiàn)OC交⊙C于點(diǎn)A、B,點(diǎn)A、B關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)分別是A′、B′,點(diǎn)M為⊙C上另一點(diǎn),關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)為M′.求證:∠A′M′B′=90°.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,點(diǎn)A、B為地球儀的南、北極點(diǎn),直線(xiàn)AB與放置地球儀的平面交于點(diǎn)D,所成的角度約為67°,半徑OC所在的直線(xiàn)與放置平面垂直,垂足為點(diǎn)E.DE=15cm,AD=14cm.求半徑OA的長(zhǎng).(精確到0.1cm) (參考數(shù)據(jù):sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,tan67°≈2.36)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012年浙江省三縣市中考數(shù)學(xué)一模試卷(解析版) 題型:解答題

如圖1,在平面上,給定了半徑為r的⊙O,對(duì)于任意點(diǎn)P,在射線(xiàn)OP上取一點(diǎn)P′,使得OP•OP′=r2,這種把點(diǎn)P變?yōu)辄c(diǎn)P′的變換叫做反演變換,點(diǎn)P與點(diǎn)P′叫做互為反演點(diǎn),⊙O稱(chēng)為基圓.
(1)如圖2,⊙O內(nèi)有不同的兩點(diǎn)A、B,它們的反演點(diǎn)分別是A′、B′,則與∠A′一定相等的角是______
(A)∠O         (B)∠OAB        (C)∠OBA           (D)∠B′
(2)如圖3,⊙O內(nèi)有一點(diǎn)M,請(qǐng)用尺規(guī)作圖畫(huà)出點(diǎn)M的反演點(diǎn)M′;(保留畫(huà)圖痕跡,不必寫(xiě)畫(huà)法).
(3)如果一個(gè)圖形上各點(diǎn)經(jīng)過(guò)反演變換得到的反演點(diǎn)組成另一個(gè)圖形,那么這兩個(gè)圖形叫做互為反演圖形.已知基圓O的半徑為r,另一個(gè)半徑為r1的⊙C,作射線(xiàn)OC交⊙C于點(diǎn)A、B,點(diǎn)A、B關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)分別是A′、B′,點(diǎn)M為⊙C上另一點(diǎn),關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)為M′.求證:∠A′M′B′=90°.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012年浙江省臺(tái)州市聯(lián)考(天臺(tái)縣椒江區(qū)玉環(huán)縣)中考數(shù)學(xué)一模試卷(解析版) 題型:解答題

如圖1,在平面上,給定了半徑為r的⊙O,對(duì)于任意點(diǎn)P,在射線(xiàn)OP上取一點(diǎn)P′,使得OP•OP′=r2,這種把點(diǎn)P變?yōu)辄c(diǎn)P′的變換叫做反演變換,點(diǎn)P與點(diǎn)P′叫做互為反演點(diǎn),⊙O稱(chēng)為基圓.
(1)如圖2,⊙O內(nèi)有不同的兩點(diǎn)A、B,它們的反演點(diǎn)分別是A′、B′,則與∠A′一定相等的角是______
(A)∠O         (B)∠OAB        (C)∠OBA           (D)∠B′
(2)如圖3,⊙O內(nèi)有一點(diǎn)M,請(qǐng)用尺規(guī)作圖畫(huà)出點(diǎn)M的反演點(diǎn)M′;(保留畫(huà)圖痕跡,不必寫(xiě)畫(huà)法).
(3)如果一個(gè)圖形上各點(diǎn)經(jīng)過(guò)反演變換得到的反演點(diǎn)組成另一個(gè)圖形,那么這兩個(gè)圖形叫做互為反演圖形.已知基圓O的半徑為r,另一個(gè)半徑為r1的⊙C,作射線(xiàn)OC交⊙C于點(diǎn)A、B,點(diǎn)A、B關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)分別是A′、B′,點(diǎn)M為⊙C上另一點(diǎn),關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)為M′.求證:∠A′M′B′=90°.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案