Question

如圖，點O是邊長為8的正方形ABCD邊AD上一個動點（4＜OA＜8），以O為圓心、OA長為半徑的圓交邊CD于點M，連接OM，以CM為邊在正方形ABCD內部作∠CMN=∠DOM，直線MN交邊BC于點N.

（1）試說明：直線MN是⊙O的切線；
（2）設DM=x，求OA的長（用含x的代數(shù)式表示）；
（3）在點O運動的過程中，設△CMN的周長為p，試用含x的代數(shù)式表示p，你有什么發(fā)現(xiàn)？

Answer 1

（1）根據(jù)正方形的性質結合∠CMN=∠DOM，即可得到∠OMN=90°，即可證得結果；
（2）；（3）p為定值16

試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質結合∠CMN=∠DOM，即可得到∠OMN=90°，即可證得結果；
（2）設OA＝y(tǒng)，Rt△ODM中，根據(jù)勾股定理可得DM²＝OM²－DO²＝OA²－DO²，即可得到結果；
（3）易證△DOM ∽△CMN，根據(jù)相似三角形的性質可得，即可得到結果.
（1）∵正方形ABCD
∴∠D=90°
∴∠DOM+∠DMO=90°
∵∠CMN=∠DOM
∴∠CMN+∠DMO=90°
∴∠OMN=90°
∴直線MN是⊙O的切線；
（2）設OA＝y(tǒng)，Rt△ODM中，DM²＝OM²－DO²＝OA²－DO²，
即x²＝y(tǒng)²－(8－y)²，解得OA＝y(tǒng) ＝； 
（3）易證△DOM ∽△CMN，相似比為，
∴p＝.
∴在點O運動的過程中，△CMN的周長p為定值16．
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，題目比較典型．