Question

已知拋物線y=

1

4

x2，定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，1），定直線l的方程為：y=-1；
（1）當(dāng)動點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動時，求證：P到定直線l的距離PP′等于P到定點(diǎn)F的距離．
（2）若過定點(diǎn)F任作一條直線，與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，再以線段MN的長為直徑作一個圓C，試判斷圓C與定直線l的位置關(guān)系，并說明理由．
（3）在（2）的條件下，你能否在定直線l上找到一點(diǎn)Q，使得QF恰好平分∠MQN？若能，求出點(diǎn)坐標(biāo)；否則，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線解析式設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，

1

4

x²），根據(jù)勾股定理表示求出PF，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離表示出點(diǎn)P到直線l的距離，即可得證；
（2）過M、N、C分別作直線l的垂線，垂足分別為E、G、H，可得CH是梯形MEGN的中位線，根據(jù)梯形的中位線定理可得CH=

1

2

（ME+NG），再根據(jù)（1）的結(jié)論代入整理可得CH=

1

2

MN，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可以判斷圓C與定直線l相切；
（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得

MF

NF

=

MQ

NQ

，再根據(jù)ME=MF，NG=NF，可以判斷Rt△MEQ和Rt△NGQ相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等可得∠MQE=∠NQG，又因?yàn)镼F平分∠MQN，推出∠EQF=90°，從而得到點(diǎn)Q在y軸上，即Q為定值線與y軸的交點(diǎn)．

解答：（1）證明：∵點(diǎn)P在拋物線y=

1

4

x²上，
∴設(shè)點(diǎn)P（x，

1

4

x²），
則PF=

x2+( 1 4 x2-1)2

=

1 16 x4+ 1 2 x2+1

=

1

4

x²+1，
∵定直線l的方程為：y=-1，
∴點(diǎn)P到直線l的距離PP′=

1

4

x²-（-1）=

1

4

x²+1，
∴P到定直線l的距離PP′等于P到定點(diǎn)F的距離；

（2）解：圓C與定直線l的位置關(guān)系是相切．理由如下：
如圖，過M、N、C分別作直線l的垂線，垂足分別為E、G、H，
則CH是梯形MEGN的中位線，
∵M(jìn)E=MF，NG=NF，
∴CH=

1

2

（ME+NG）=

1

2

（MF+NF）=

1

2

MN，
即圓心C到定直線l的距離等于⊙C的半徑，
∴圓C與定直線l的位置關(guān)系是相切；


（3）解：存在點(diǎn)Q（0，-1），使得QF恰好平分∠MQN．
理由如下：∵QF平分∠MQN，
∴

MF

NF

=

MQ

NQ

，
∵M(jìn)E=MF，NG=NF，
∴

ME

NG

=

MQ

NQ

，
∴Rt△MEQ∽Rt△NGQ，
∴∠MQE=∠NQG，
又∵QF平分∠MQN，
∴∠MQF=∠NQF，
∵∠MQE+∠MQF+∠NQF+∠NQG=180°，
∴∠MQE+∠MQF=

1

2

×180°=90°，
∴∠EQF=90°，
∴點(diǎn)Q在y軸上，
即點(diǎn)Q為定直線l：y=-1與y軸的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，-1）．

點(diǎn)評：本題綜合考查了二次函數(shù)，主要利用了拋物線上點(diǎn)的特征，梯形的中位線定理，直線與圓的位置關(guān)系以及直角三角形相似的判斷與相似三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)，（3）中角平分線的性質(zhì)，三角形的角平分線分對邊所成的兩條線段的比等于三角形兩鄰邊的比同學(xué)們比較生疏，要特別注意．