Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，且AB=8），與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，線段OA、OC的長(zhǎng)（OA＜OC）是方程x²-14x+48=0的兩個(gè)根．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）連接AC、BC，若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，連接CE，設(shè)AE的長(zhǎng)為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上試說(shuō)明S是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出S的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，判斷此時(shí)△BCE的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，且AB=8），與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，線段OA、OC的長(zhǎng)（OA＜OC）是方程x²-14x+48=0的兩個(gè)根．
求出兩根，根據(jù)題意得出A，B，C的坐標(biāo)，從而可求出拋物線的解析式．
（2）依題意，AE=m，則BE=8-m，證明出相似三角形以及根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例，和三角函數(shù)的運(yùn)用，以及根據(jù)三角形的面積的差做為等量關(guān)系求出s和m的函數(shù)式．
（3）在（2）的基礎(chǔ)上試說(shuō)明S存在最大值，可求出S的值，并且可知道△BCE是等腰三角形．

解答：解：（1）解方程x²-14x+48=0得x₁=6，x₂=8，
由題意得
A（-6，0），C（0，8），B（2，0）…（3分）
∵點(diǎn)C（0，8）在拋物線y=ax²+bx+c的圖象上，∴c=8，
將A（-6，0）、B（2，0）代入表達(dá)式，得

0=36a-6b+8 0=4a+2b+8

，
　解得    

a=- 2 3 b=- 8 3

．
∴所求拋物線的表達(dá)式為y=-

2

3

x²-

8

3

x+8；　…（2分）

（2）依題意，AE=m，則BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，∴AC=10．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴

EF

AC

=

BE

AB

即

EF

10

=

8-m

8

，
∴EF=

40-5m

4

． …（1分）
過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為G，
則sin∠FEG=sin∠CAB=

4

5

，
∴

FG

EF

=

4

5

，
∴FG=

4

5

•

40-5m

4

=8-m，
∴S=S_△BCE-S_△BFE=

1

2

（8-m）×8-

1

2

（8-m）（8-m）
=

1

2

（8-m）（8-8+m）=

1

2

（8-m）m=-

1

2

m²+4m．　…（2分）
自變量m的取值范圍是0＜m＜8；　　…（1分）

（3）存在．
理由：∵S=-

1

2

m²+4m=-

1

2

（m-4）²+8且-

1

2

＜0，
∴當(dāng)m=4時(shí)，S有最大值，S_最大值=8．　　…（2分）
∵m=4，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，0），
∴△BCE為等腰三角形．　　…（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵是根據(jù)坐標(biāo)確定二次函數(shù)式，求出s和m的函數(shù)關(guān)系式，以及看看是否有最大值，確定三角形的形狀．