Question

如圖，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1），拋物線y=x²沿OP方向平移，頂點(diǎn)B從O點(diǎn)開始平移到P點(diǎn)結(jié)束，設(shè)頂點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為m．

（1）用m的代數(shù)式表示點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線x=2與拋物線交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)F，平移過程中拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E．
①當(dāng)四邊形ABEP是平行四邊形時(shí)，求此時(shí)拋物線的解析式；
②探究：當(dāng)m為何值時(shí)，以AB為邊的正方形ABCD的頂點(diǎn)C落在坐標(biāo)軸上？

Answer 1

分析：（1）利用三角形相似，可以求出點(diǎn)B的坐標(biāo)
（2）利用二次函數(shù)平移前后a不變和勾股定理求出．

解答：（1）解：在△BOE和△POM中，△BOE∽△POM，
∴

OM

OE

=

PM

BE

，
∵頂點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為m，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1），
∴BE=

m

2

，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，

m

2

）；

（2）解：如圖1，①∵BE=

m

2

，
假設(shè)四邊形ABEP是平行四邊形，
∴AP=BE=

m

2

，A（2，1+

m

2

），
根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），
點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，

m

2

）也是二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，
根據(jù)題意得，其中a=1，
解得：b=-2m，c=m2+

m

2

，
把點(diǎn)A（2，1+

m

2

）代入y=x²+bx+c得；
1+

m

2

=4-4m+m2+

m

2

，
解得：m=1或3，
∵m≤2，
∴m=1．
∴解析式為：y=x²-2x+

3

2

；

②解：以AB為邊的正方形ABCD的頂點(diǎn)C落在坐標(biāo)軸上，分兩種情況：
第一種：如圖2，C點(diǎn)落在x軸上，如圖①．過點(diǎn)A作AG⊥BE于G．
易證△AGB≌△BEC，∴AG=BE，
∴2-m=

m

2

，解得m=

4

3

；
第二種：如圖3，C點(diǎn)落在y軸上，如圖②．過點(diǎn)B作GH∥x軸交y軸于G，交PA于H．易證△ABH≌△BCG，∴AH=BG，
∴（2-m）²+

m

2

-

m

2

=m
解得m=1或4．
∵m≤2，
∴m=1．
綜上可知，當(dāng)m=1或

4

3

時(shí)，以AB為邊的正方形ABCD的頂點(diǎn)C落在坐標(biāo)軸上．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的平移問題，綜合性較強(qiáng)．