Question

（2013•衡陽）如圖，P為正方形ABCD的邊AD上的一個動點，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分別為點E、F，已知AD=4．
（1）試說明AE²+CF²的值是一個常數(shù)；
（2）過點P作PM∥FC交CD于點M，點P在何位置時線段DM最長，并求出此時DM的值．

Answer 1

分析：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，結(jié)合∠ABE=∠BCF，證明△ABE≌△BCF，可得AE=BF，于是AE²+CF²=BF²+CF²=BC²=16為常數(shù)；
（2）設(shè)AP=x，則PD=4-x，由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，△PDM∽△BAP，列出關(guān)于x的一元二次函數(shù)，求出DM的最大值．

解答：解：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，
又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，
∴∠ABE=∠BCF，
∵在△ABE和△BCF中，

AB=BC ∠ABE=∠BCF ∠AEB=∠BFC

，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，
∴AE²+CF²=BF²+CF²=BC²=16為常數(shù)；

（2）設(shè)AP=x，則PD=4-x，
由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，
∴△PDM∽△BAP，
∴

DM

PD

=

AP

AB

，
即

DM

4-x

=

x

4

，
∴DM=

x(4-x)

4

=x-

1

4

x²，
當(dāng)x=2時，DM有最大值為1．

點評：本題主要考查正方形的性質(zhì)等知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理以及三角形相似等知識，此題有一定的難度，是一道不錯的中考試題．