Question

如圖，已知等邊△ABC和等邊△CDE，P、Q分別為AD、BE的中點．
（1）試判斷△CPQ的形狀并說明理由．
（2）如果將等邊△CDE繞點C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中△CPQ的形狀會改變嗎？請你將圖2中的圖形補畫完整并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由“有一內(nèi)角為60°的等腰三角形為等邊三角形”進行判斷與證明；
（2）通過全等三角形△ACD≌△BCE、△ACP≌△BCQ的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等的性質(zhì)推知△CPQ的兩邊PC=QC、內(nèi)角∠PCQ=60°，從而確定△CPQ是等邊三角形．

解答：解：（1）如圖1，△CPQ是等邊三角形．理由如下：
∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴∠C=60°，AC=BC，DC=EC，
∴AC-DC=BC-EC，即AD=BE．
∵P、Q分別為AD、BE的中點，
∴PD=EQ，
∴CD+DP=CE+EQ，即CP=CQ，
∴△CPQ是等邊三角形；

（2）如果將等邊△CDE繞點C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中△CPQ的形狀不會改變．理由如下：
如圖2，∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，
∵∠ACD=∠DCE-∠ACE，∠BCE=∠ACB-∠ACE，
∴∠ACD=∠BCE，
∴在△ACD與△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE DC=EC

，
∴△ACD≌△BCE （SAS），
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，即∠CAP=∠CBQ．
∵P是AD的中點，Q是BE的中點，
∴AP=

1

2

AD，BQ=

1

2

BE，
∴AP=BQ，
∴在△ACP與△BCQ中，
 

AC=BC ∠CAP=∠CBQ AP=BQ

，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴PC=QC，∠BCQ=∠ACP，
∵∠BCQ+∠ACQ=∠ACB=60°，
∴∠ACP+∠ACQ=60°，
∴∠PCQ=60°，
∴△CPQ是等邊三角形．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)．根據(jù)等邊三角形的判定：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．