Question

如圖，已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，AD是BC邊上的高．
（1）在△ABC內(nèi)部作一個(gè)矩形EFGH（如圖①），其中E、H分別在邊AB、AC上，F(xiàn)G在邊BC上．
①設(shè)矩形的一邊FG=x，那么EF=

 

；（用含有x的代數(shù)式表示）
②設(shè)矩形的面積為y，當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？
（2）當(dāng)矩形EFGH面積最大時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D②中畫(huà)出此時(shí)點(diǎn)E的位置．（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，并簡(jiǎn)要說(shuō)明確定點(diǎn)E的方法）

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及已知可求得BD的長(zhǎng)，再根據(jù)三角函數(shù)不難求得EF的長(zhǎng)；
②面積=長(zhǎng)×寬，那么就可以表示為關(guān)于x的二次函數(shù)，得出最值即可．
（2）由②得，F(xiàn)G=1時(shí)矩形面積最大，此時(shí)，BF=0.5，那么BE=1，那么以B為圓心，BD為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)E即可．

解答：解：（1）①設(shè)FG=x，那么FD=

x

2

，
∵BC=2，
∴BD=1．
∴BF=1-

x

2

．
∵∠B=60°，∠EFB=90°，
∴EF=

3

-

3

2

x．

3

-

3

2

x．（2分）

②y=FG•EF=x(

3

-

3

2

x)=-

3

2

x2+

3

x（6分）
=-

3

2

(x-1)2+

3

2

．（7分）
當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值，且最大值為

3

2

．（8分）

（2）畫(huà)法：以B為圓心，BD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)E，則點(diǎn)E即為所求（10分）
畫(huà)圖正確（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查相似三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)及二次函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．