在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線y=-
3
3
x+
2
3
3
交x軸于點(diǎn)C,交y軸于點(diǎn)A.等腰直角三角板OBD的頂點(diǎn)D與點(diǎn)C重合,如圖A所示.把三角板繞著點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角度為α(0°<α<180°),使B點(diǎn)恰好落在AC上的B'處,如圖B所示.
(1)求圖A中的點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求α的值;
(3)若二次函數(shù)y=mx2+3x的圖象經(jīng)過(1)中的點(diǎn)B,判斷點(diǎn)B′是否在這條拋物線上,并說明理由.
(1)∵直線y=-
3
3
x+
2
3
3
交x軸于點(diǎn)C,交y軸于點(diǎn)A,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,
2
3
3
),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,0).
∵等腰直角三角板OBD的頂點(diǎn)D與點(diǎn)C重合,
∴OD=2,∠BOD=45°.
過點(diǎn)B作BM⊥OC于M.
∴OM=
1
2
OD=1

∴BM=1,OB=
2

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,1)

(2)∵OA=
2
3
3
,OC=2,∠AOC=90°,
∴∠ACO=30°.
過點(diǎn)O作OE⊥AC于E.
∴OE=1.
∵在Rt△B′EO中,OB′=
2
,OE=1,
∴∠B′OE=45°.
∴∠EOD=90°.
又∵∠EOC=60°,
∴∠COD=30°.
∴α=30°.

(3)判斷:點(diǎn)B'在這條拋物線上.
理由:∵點(diǎn)B'在直線AC上,
∴點(diǎn)B'的坐標(biāo)為(a,-
3
3
a+
2
3
3
).
∵a2+(-
3
3
a+
2
3
3
2=OB'2,
∴a2+(-
3
3
a+
2
3
3
2=(
2
2
解方程,得a1=
1+
3
2
,a2=
1-
3
2
(不合題意,舍去).
∴點(diǎn)B'的坐標(biāo)為(
1+
3
2
,
3
-1
2
).
又∵二次函數(shù)y=mx2+3x過B(1,1),
∴m=-2.
∴二次函數(shù)的解析式為y=-2x2+3x.把x=
1+
3
2
代入y=-2x2+3x,得y=
3
-1
2

∴點(diǎn)B'在這條拋物線上.
(注:對于每題的不同解法,請老師們根據(jù)評分標(biāo)準(zhǔn)酌情給分.)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知:如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸、y軸都只有一個交點(diǎn),分別為A、B且AB=2,又關(guān)于x的方程x2-(b+2ac)x+m=0(m<0)的兩個實(shí)數(shù)根互為相反數(shù).
(1)求ac的值;
(2)求二次函數(shù)的解析式;
(3)過A點(diǎn)的直線與二次函數(shù)圖象相交于另一個點(diǎn)C,與y軸的負(fù)半軸相交于點(diǎn)D,且使△ABD和△ABC的面積相等,求此直線的解析式并求△ABC的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)A(3,0)為圓心,以5為半徑的圓與x軸相交于B、C,與y軸相交于點(diǎn)D、E.若拋物線y=
1
4
x2+bx+c
經(jīng)過C、D兩點(diǎn),求拋物線的解析式,并判斷點(diǎn)B是否在拋物線上.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),反比例函數(shù)和二次函數(shù)y=k(x2+x-1)的圖象交于點(diǎn)A(1,k)和點(diǎn)B(-1,-k).
(1)當(dāng)k=-2時,求反比例函數(shù)的解析式;
(2)要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著x的增大而增大,求k應(yīng)滿足的條件以及x的取值范圍;
(3)設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為Q,當(dāng)△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時,求k的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為原點(diǎn),直線y=
1
2
x+4
的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A點(diǎn)(8,8),直線與x軸的交點(diǎn)為C,與y軸的交點(diǎn)為B.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式與B點(diǎn)坐標(biāo);
(2)P為線段AB上的一個動點(diǎn)(點(diǎn)P與A,B不重合),過P作x軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于D點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)E.設(shè)線段PD的長為h,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,在線段AB上是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似?若存在,請求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,矩形的長是4cm,寬是3cm,如果將長和寬都增加xcm,那么面積增加ycm2
(1)求y與x的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求當(dāng)邊長增加多少時,面積增加8cm2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知:如圖,△ABC是邊長3cm的等邊三角形,動點(diǎn)P、Q同時從A、B兩點(diǎn)出發(fā),分別沿AB、BC方向勻速移動,它們的速度都是1cm/s,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時,P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t(s),解答下列問題:
(1)當(dāng)t為何值時,△PBQ是直角三角形?
(2)設(shè)四邊形APQC的面積為y(cm2),求y與t的關(guān)系式;是否存在某一時刻t,使四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二?如果存在,求出相應(yīng)的t值;不存在,說明理由;
(3)設(shè)PQ的長為x(cm),試確定y與x之間的關(guān)系式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知等腰直角三角形的斜邊長為x,面積為y,則y與x的函數(shù)關(guān)系式為______.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在矩形ABCD中,點(diǎn)E是AD邊上一點(diǎn),連接BE,且∠ABE=30°,BE=DE,連接BD.點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿射線ED運(yùn)動,過點(diǎn)P作PQBD交直線BE于點(diǎn)Q.
(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段ED上時(如圖1),求證:BE=PD+
3
3
PQ;
(2)若BC=6,設(shè)PQ長為x,以P、Q、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量x的取值范圍);
(3)在②的條件下,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到線段ED的中點(diǎn)時,連接QC,過點(diǎn)P作PF⊥QC,垂足為F,PF交對角線BD于點(diǎn)G(如圖2),求線段PG的長.

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同步練習(xí)冊答案