Question

已知α，β是關(guān)于x的一元二次方程x²-2ax+a+6=0的兩個實(shí)根，則（α-1）²+（β-1）²的最小值為

 

．

Answer 1

分析：先求出兩根之和與兩根之積的值，再將（α-1）²+（β-1）²化簡成兩根之和與兩根之積的形式，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最小值．

解答：解：∵一元二次方程x²-2ax+a+6=0有兩個實(shí)根；
∴△=4a²-4×（a+6）=4a²-4a-24≥0；
解得：a≤-2或a≥3；
∵α，β是關(guān)于x的一元二次方程x²-2ax+a+6=0的兩個實(shí)根；
∴α+β=2a，α•β=a+6；
（α-1）²+（β-1）²=α²+1-2α+β²-2β+1=α²+β²-2（β+α）+2
=（α+β）²-2αβ-2（α+β）+2
=4a²-2×（a+6）-2×2a+2
=4a²-6a-10
=4（a-

3

4

）²-

49

4

；
∵a≤-2或a≥3；
∴（a-

3

4

）²≥（

9

4

）²；
∴4（a-

3

4

）²-

49

4

≥8；
則（α-1）²+（β-1）²的最小值為8．

點(diǎn)評：本題是利用根與系數(shù)的關(guān)系，把求代數(shù)式的最值的問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于同一個字母的二次三項式的求值問題，從而利用配方法進(jìn)行判斷．