Question

已知△ABC中，BC=6，AC＞AB，點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn)，且DC=AB=4，E為BC邊的中點(diǎn)，連接DE，設(shè)AD=x．
（1）當(dāng)DE⊥BC時（如圖1），連接BD，則BD的長為

 

；
（2）設(shè)

S四邊形ABED

S△CDE

=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）取AD的中點(diǎn)M，連接EM并延長交BA的延長線于點(diǎn)P，以A為圓心AM為半徑作⊙A，試問：當(dāng)AD的長改變時，點(diǎn)P與⊙A的位置關(guān)系變化嗎？若不變化，請說明具體的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；若變化，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件即可得到DE是線段BC的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可得到BD的長；
（2）分別表示出兩個三角形的面積，利用它們的面積的比即可得到函數(shù)關(guān)系式；
（3）得到AP=AM之后即可得到點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．

解答：解：（1）連接BD，
∵DE⊥BC，E為BC邊的中點(diǎn)，
∴BD=CD=4；

（2）連BD，∵點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，
∴S_△BDE=S_△CDE，
∴y=

S△ABD+S△BDE

S△CDE

=

S△ABD

S△CDE

+1，
∵

S△ABD

S△DBC

=

x

4

，
∴

S△ABD

2S△CDE

=

x

4

，
即

S△ABD

S△CDE

=

x

2

∴y=

x

2

+1（0＜x＜6）；

（3）點(diǎn)P在⊙A上．
證明：取AC中點(diǎn)N，則AN=

4+x

2

，
∵M(jìn)為AD中點(diǎn)，
∴MN=

4+x

2

-

x

2

=2，
∵E為BC中點(diǎn)，
∴NE∥AB，且EN=2，
∴MN=EN，
∵NE∥AB，
∴

AP

NE

=

AM

MN

，
∴AP=AM
∴點(diǎn)P在⊙A上．

點(diǎn)評：本題考查了對點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷．關(guān)鍵要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d＜r時，點(diǎn)在圓內(nèi)．