如圖所示，已知：AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，弦AE與CD相交于點(diǎn)F，則有結(jié)論AD2＝AE·AF成立(為什么？)．

(1)若將弦CD向下平移至與⊙O相切于點(diǎn)B時(如圖所示)，AE·AF是否等于AG2？如果不相等，請?zhí)角驛E·AF等于哪兩條線段的積？并給出證明．

(2)當(dāng)CD繼續(xù)向下平移至與⊙O相離時(如圖所示)，在(1)中探求的結(jié)論是否還成立？并說明理由．

答案：
解析：

　　證明：連接DE．

　　因為CD⊥AB，AB是直徑，

　　所以＝，

　　所以∠ADC＝∠AED．

　　又因為∠DAF＝∠EAD，

　　所以△ADF∽△AED，

　　所以＝，

　　所以AD2＝AE·AF．

　　(1)AE·AF不等于AG2，應(yīng)該有結(jié)論AE·AF＝AG·AH．

　　證明：連接BE，BG．

　　因為AB是直徑，AB⊥CD，

　　所以∠AEB＝∠AGB＝∠ABF＝∠ABH＝．

　　因為∠AEB＝∠ABF，∠BAE＝∠FAB，

　　所以△ABE∽△AFB，

　　所以＝，

　　所以AE·AF＝AB2．

　　同理可證AG·AH＝AB2．

　　所以AE·AF＝AG·AH．

　　(2)在(1)中探求的結(jié)論還成立．證明如下：

　　連接EG，BG．

　　因為AB是直徑，AB⊥CD于M，

　　所以∠AGB＝∠AMF＝，

　　所以∠AFM＋∠FAM＝∠AGE＋∠BGE＝．

　　因為∠FAM＝∠BGE，

　　所以∠AFM＝∠AGE．

　　又∠FAH＝∠GAE，

　　所以△AFH∽△AGE，

　　所以＝，

　　所以AE·AF＝AG·AH．


練習(xí)冊系列答案
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