我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休”.數(shù)學(xué)中,數(shù)和形是兩個最主要的研究對象,它們之間有著十分密切的聯(lián)系,在一定條件下,數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化,相互滲透.

  數(shù)形結(jié)合的基本思想,就是在研究問題的過程中,注意把數(shù)和形結(jié)合起來考察,斟酌問題的具體情形,把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題,或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題,使復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化,化難為易,獲得簡便易行的成功方案.

  例如,求1+2+3+4+…+n的值,其中n是正整數(shù).

  對于這個求和問題,如果采用純代數(shù)的方法(首尾兩頭加),問題雖然可以解決,但在求和過程中,需對n的奇偶性進行討論.

  如果采用數(shù)形結(jié)合的方法,即用圖形的性質(zhì)來說明數(shù)量關(guān)系的事實,那就非常的直觀.現(xiàn)利用圖形的性質(zhì)來求1+2+3+4+…+n的值,方案如下:如圖,斜線左邊的三角形圖案是由上到下每層依次分別為1,2,3,…,n個小圓圈排列組成的.而組成整個三角形小圓圈的個數(shù)恰為所求式子1+2+3+4+…+n的值.為求式子的值,現(xiàn)把左邊三角形倒放于斜線右邊,與原三角形組成一個平行四邊形.此時,組成平行四邊形的小圓圈共有n行,每行有(n+1)個小圓圈,所以組成平行四邊形小圓圈的總個數(shù)為n(n+1)個,因此,組成一個三角形小圓圈的個數(shù)為,即1+2+3+4+…+n=

(1)仿照上述數(shù)形結(jié)合的思想方法,設(shè)計相關(guān)圖形,求1+3+5+7+…+(2n-1)的值,其中n是正整數(shù).(要求:畫出圖形,并利用圖形做必要的推理說明)

(2)試設(shè)計另外一種圖形,求1+3+5+7+…+(2n-1)的值,其中n是正整數(shù).(要求:畫出圖形,并利用圖形做必要的推理說明)

答案:
解析:

  (1)

  3分

  因為組成此平行四邊形的小圓圈共有n行,每行有[(2n-1)+1]個,即2n個,所以組成此平行四邊形的小圓圈共有(n×2n)個,即2n2個.

  ∴1+3+5+7+…+(2n-1)==n2.  6分

  (2)

  9分

  因為組成此正方形的小圓圈共有n行,每行有n個,所以共有(n×n)個,即n2個.

  ∴1+3+5+7+…+(2n-1)=n×n=n2.  10分


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

閱讀題:我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過:“數(shù)缺形時少直觀,形小數(shù)時難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家事萬休.”數(shù)形結(jié)合的基本思想,就是在研究問題的過程中,注意把數(shù)和形結(jié)合起來考察,斟酌問題的具體情形,把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題,使復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化,化難為易,獲得簡便易行的成功方案.
例:求1+2+3+4+…+n的值,其中n是正整數(shù);
如果采用數(shù)形結(jié)合的方法,現(xiàn)利用圖形的性質(zhì)來求1+2+3+4+…+n的值,方案如下:
如圖,斜線左邊的三角形圖案是由上到下每層依次分別為1,2,3…n個小圓圈的個數(shù)恰好為所求式子1+2+3+4+…+n的值,為求式子的值,現(xiàn)把左邊三角形倒放于斜線右邊,與原三角形組成一個平行四邊形小圓圈的總個數(shù)為n(n+1)個,因此,組成一個三角形小圓圈的個數(shù)為
n(n+1)
2
,即1+2+3+4+…+n=
n(n+1)
2

①仿照上述數(shù)形結(jié)合的思想方法,設(shè)計相關(guān)圖形,求1+3+5+7+…+(2n-1)的值,其中n為正整數(shù)(要求畫出圖形,寫出結(jié)果即可)
②試設(shè)計另外一種圖形,求1+3+5+7+…+(2n-1)的值,其中n是正整數(shù)(要求畫出圖形,寫出結(jié)果即可)
精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休”.數(shù)學(xué)中,數(shù)和形是兩個最主要的研究對象,它們之間有著十分密切的聯(lián)系,在一定條件下,數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化,相互滲透.
數(shù)形結(jié)合的基本思想,就是在研究問題的過程中,注意把數(shù)和形結(jié)合起來考察,斟酌問題的具體情形,把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題,或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題,使復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化,化難為易,獲得簡便易行的成功方案.
例如:求1+2+3+4+…+n的值,其中n是正整數(shù).
對于這個求和問題,如果采用純代數(shù)的方法(首尾兩頭加),問題雖然可以解決,但在求和過程中,需對n的奇偶性進行討論.
如果采用數(shù)形結(jié)合的方法,即用圖形的性質(zhì)來說明數(shù)量關(guān)系的事實,那就非常的直觀.現(xiàn)利用圖形的性質(zhì)來求1+2+3+4+…+n的值,方案如下:如圖,斜線左邊的三角形圖案是由上到下每層依次分別為1,2,3,…,n個小圓圈排列組成的.而組成整個三角形小圓圈的個數(shù)恰為所求式子1+2+3+4+…+n的值.為求式子的值,現(xiàn)把左邊三角形倒放于斜線右邊,與原三角形組成一個平行四邊形.此時,組成平行四邊形的小圓圈共有n行,每行有(n+1)個小圓圈,所以組成平行四邊形小圓圈的總個數(shù)為n(n+1)個,因此,組成一個三角形小圓圈的個數(shù)為
n(n+1)
2
,即1+2+3+4+…+n=
n(n+1)
2

(1)仿照上述數(shù)形結(jié)合的思想方法,設(shè)計相關(guān)圖形,求1+3+5+7+…+(2n-1)的值,其中n是正整數(shù).(要求:畫出圖形,并利用圖形做必要的推理說明)
(2)試設(shè)計另外一種圖形,求1+3+5+7+…+(2n-1)的值,其中n是正整數(shù).(要求:畫出圖形,精英家教網(wǎng)并利用圖形做必要的推理說明)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:“數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事非.”如圖,在一個邊長為1的正方形紙版上,依次貼上面積為
1
2
1
4
,
1
8
1
2n
,的矩形彩色紙片(n為大于1的整數(shù)).
請你用“數(shù)形結(jié)合”的思想,依數(shù)形變化的規(guī)律,計算
1
2
+
1
4
+
1
8
+…+
1
2n
=
1-
1
2n
1-
1
2n

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:三點一測叢書九年級數(shù)學(xué)上 題型:044

連分數(shù)

  形如:

  3+的分數(shù),分數(shù)里有分數(shù),一個接著一個,可稱之為連分數(shù).

  連分數(shù)可以化成普通分數(shù),例如:

  3+=3+=3+=3+是我國數(shù)學(xué)家祖沖之所作的密率.而3+稱為疏率,是何承天(370~447年)最先采用的.它們都可以作為圓周率π的近似值.實際上,π=3.14159265…,=3.14159292…,=3.14285714….

  20世紀60年代,我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生專門寫了一本小冊子《從祖沖之的圓周率談起》,向數(shù)學(xué)愛好者介紹連分數(shù)的理論與應(yīng)用,其中就包括了連分數(shù)與圓周率的關(guān)系.

想一想:你會把下列連分數(shù)化為普通分數(shù)嗎?1+

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案