已知拋物線的頂點為(1,0),且經(jīng)過點(0,1).
(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)的解析式;
(2)將該拋物線向下平移個單位,設(shè)得到的拋物線的頂點為A,與軸的兩個交點為B、C,若△ABC為等邊三角形.
①求的值;
②設(shè)點A關(guān)于軸的對稱點為點D,在拋物線上是否存在點P,使四邊形CBDP為菱形?若存在,寫出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
解:(1)由題意可得,解得
∴拋物線對應(yīng)的函數(shù)的解析式為.………………………………3分
(2)①將向下平移個單位得:-=,可知A(1,-),B(1-,0),C(1+,0),BC=2.……………………………6分
由△ABC為等邊三角形,得,由>0,解得=3.…………7分
②不存在這樣的點P. ……………………………………………………………8分
∵點D與點A關(guān)于軸對稱,∴D(1,3).由①得BC=2.要使四邊形CBDP為菱形,需DP∥BC,DP=BC.
由題意,知點P的橫坐標(biāo)為1+2,
當(dāng)=1+2時-m==,故不存在這樣的點P.……………………………………………………………………11分
【相關(guān)知識點】確定二次函數(shù)的表達(dá)式;二次函數(shù)的性質(zhì);關(guān)于軸的對稱點的性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì);菱形的判定
【解題思路】二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是中考的重點與難點,因而應(yīng)高度重視,本題屬于綜合性較強(qiáng)的題目,應(yīng)理清思路,對每一個知識點都應(yīng)熟練掌握并能靈活運用,本題求出二次函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵,應(yīng)熟練掌握三點式和頂點式求拋物線解析式的方法;二次函數(shù)的平移通常指的是圖象的平移,應(yīng)注意總結(jié)平移的規(guī)律.
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