Question

如圖，已知拋物線的頂點為M（5，6），且經(jīng)過點C（-1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線與y軸交于點A，過A作AB∥x軸，交拋物線于另一點B，則拋物線上存在點P，使△ABP的面積等于△ABO的面積，請求出所有符合條件的點P的坐標；
（3）將拋物線向右平移，使拋物線經(jīng)過點（5，0），請直接答出曲線段CM（拋物線圖象的一部分，如圖中的粗線所示）在平移過程中所掃過的面積．

Answer 1

分析：（1）設拋物線的解析式為y=a（x-5）²+6，將C（-1，0）代入，利用待定系數(shù)法可得a=-

1

6

，則所求拋物線的解析式為y=-

1

6

(x-5)2+6=-

1

6

x2+

5

3

x+

11

6

；
（2）先根據(jù)函數(shù)解析式求得OA=

11

6

，結合AB∥x軸，OA⊥AB的性質(zhì)可知點P到AB的距離為

11

6

，設點P的坐標為(x，

11

3

)或（x，0），①將(x，

11

3

)代入y=-

1

6

x2+

5

3

x+

11

6

，解得x1=5+

14

，x2=5-

14

②將（x，0）代入y=-

1

6

x2+

5

3

x+

11

6

，解得x₃=-1，x₄=11，綜合可知點P的坐標為(5+

14

，

11

3

)、(5-

14

，

11

3

)、（-1，0）、（11，0）．
（3）曲線段CM在平移過程中所掃過的面積可看作為底為6，高為6的平行四邊形的面積，故為36．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x-5）²+6（1分）
將C（-1，0）代入，
得0=a（-1-5）²+6，
解得a=-

1

6

（2分）
∴所求拋物線的解析式為y=-

1

6

(x-5)2+6=-

1

6

x2+

5

3

x+

11

6

（1分）；

（2）∵當x=0時，y=

11

6

，
∴OA=

11

6

（1分）
∵AB∥x軸，
∴OA⊥AB
∵S_△ABO=S_△ABP
∴點P到AB的距離為

11

6

（2分）
∴設點P的坐標為(x，

11

3

)或（x，0）
將(x，

11

3

)代入y=-

1

6

x2+

5

3

x+

11

6

，
解得x1=5+

14

，x2=5-

14

（2分）
將（x，0）代入y=-

1

6

x2+

5

3

x+

11

6

，
解得x₃=-1，x₄=11（2分）
∴點P的坐標為(5+

14

，

11

3

)、(5-

14

，

11

3

)、（-1，0）、（11，0）（1分）；

（3）∵曲線段CM在平移過程中所掃過的面積可看作為底為6，高為6的平行四邊形的面積，
∴所掃過的面積為36．（2分）

點評：本題考查二次函數(shù)的綜合應用，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和二次函數(shù)和方程之間的關系以及利用數(shù)形結合的方法求算幾何圖形的面積等．要熟練掌握才能靈活運用．