Question

（1998•蘇州）已知：a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，拋物線y=x²-2ax+b²交x軸于兩點(diǎn)M、N，交y軸于點(diǎn)P，其中點(diǎn)M的坐標(biāo)是（a+c，0）．
（1）求證：△ABC是直角三角形；
（2）若△MNP的面積是△NOP的面積的3倍，
①求cosC的值；
②試判斷，△ABC的三邊長能否取一組適當(dāng)?shù)闹担�使以MN為直徑的圓恰好過拋物線y=x²-2ax+b²的頂點(diǎn)？如能，求出這組值；如不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)M（a+c，0）代入拋物線y=x²-2ax+b²，整理可得a²=b²+c²，從而判斷出三角形為直角三角形；
（2）①根據(jù)S_△MNP=3S_△NOP，判斷出MN=3ON，即MO=4ON，求出N點(diǎn)坐標(biāo)的表達(dá)式，得到x=a+c和x=

a+c

4

是方程x²-2ax+b²=0的兩根，求出a、c之間的關(guān)系，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出cosC=

b

a

=

4

5

．
②過D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，則NE=EM，DN=DM，要使以MN為直徑的圓恰好過拋物線y=x²-2ax+b²的頂點(diǎn)，則使△MND為等腰直角三角形，只須ED=

1

2

MN=EM．據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²-2ax+b²經(jīng)過點(diǎn)M（a+c，0），
∴（a+c）²-2a（a+c）+b²=0，即a²=b²+c²．
由勾股定理的逆定理，得△ABC為直角三角形．

（2）①如圖1所示?∵S_△MNP=3S_△NOP，
∴MN=3ON，即MO=4ON，又M（a+c，0），
∴N（

a+c

4

，0），
∴x=a+c和x=

a+c

4

是方程x²-2ax+b²=0的兩根，
此時(shí)兩個(gè)為x_1，2=

2a± 4a2-4b2

2

=a±

a2-b2

，
∴a+c+

a+c

4

=2a，
∴c=

3

5

a，由（1）知：在△ABC中，∠A=90°，由勾股定理得b=

4

5

a，
∴cosC=

b

a

=

4

5

．
②能，由（1）知：y=x²-2ax+b²=x²-2ax+a²-c²=（x-a）²-c²，
∴頂點(diǎn)D（a，-c²）．
過D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，則NE=EM，DN=DM，要使以MN為直徑的圓恰好過拋物線y=x²-2ax+b²的頂點(diǎn)，則使△MND為等腰直角三角形，只須ED=

1

2

MN=EM．
∵M(jìn)（a+c，0），D（a，-c²），
∴DE=c²，EM=c，
∴c²=c，又c＞0，
∴c=1．
∵c=

3

5

a，b=

4

5

a，
∴a=

5

3

，b=

4

3

；
∴當(dāng)a=

5

3

，b=

4

3

，c=1時(shí)，△MND為等腰直角三角形．
此時(shí)，EM=ED=EN，以MN為直徑的圓恰好過拋物線y=x²-2ax+b²的頂點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道探索題，是近年來中考命題的熱點(diǎn)問題．在第（2）小題中要求同學(xué)們先猜想可能的結(jié)論，再進(jìn)行證明，這對(duì)同學(xué)們的確有較高的能力要求．而在探索結(jié)論前可以自己先畫幾個(gè)草圖，做到心中有數(shù)再去努力求證．總之這是一道新課標(biāo)形勢下的優(yōu)秀壓軸．